Довжина кривої

Довжина кривої
Наступник	площа поверхні
Розмірність	${\displaystyle {\mathsf {L}}}$
Формула	${\displaystyle s=\int _{a}^{b}|{\boldsymbol {c}}'(t)|\,\mathrm {d} t}$
Позначення у формулі	${\displaystyle s}$, ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$, ${\displaystyle |{\boldsymbol {x}}|}$, ${\displaystyle '}$ і ${\displaystyle {\boldsymbol {c}}}$
Символ величини (LaTeX)	${\displaystyle s}$[1]
Властивий	крива
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Рекомендована одиниця вимірювання	м[1][2]
Довжина кривої у Вікісховищі

Довжиною кривої в метричному просторі ${\displaystyle (X,\rho )}$ називається варіація відображення, що задає криву, тобто довжина кривої ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$ — це величина, що дорівнює

${\displaystyle \sup \sum \limits _{k=0}^{m}\rho (\gamma (x_{k+1}),\gamma (x_{k})),}$

де точна верхня грань береться по всіх розбиттях ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{m}=b}$ відрізка ${\displaystyle [a,b]}$.

Для евклідового простору це означає, що довжина кривої визначається як точна верхня границя для вписаних в криву ламаних.

Якщо довжина скінченна, то кажуть, що крива спрямна, інакше — неспрямна.

Якщо крива класу ${\displaystyle C^{1}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, тоді її довжина дорівнює:

• У загальному випадку ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ — ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{k=1}^{n}{f'_{k}}^{2}(t)}}\,dt}$.
• У ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ — ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}(t)+{y'}^{2}(t)+{z'}^{2}(t)}}\,dt}$.
• Якщо крива задана у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ як ${\displaystyle f(x)}$, то її довжина дорівнює ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+{f'}^{2}(x)}}\,dx}$.
• У полярних координатах для плоскої кривої:

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}\limits \!{\sqrt {\rho ^{2}+\left({\frac {d\rho }{d\varphi }}\right)^{2}}}\,d\varphi .}$

Історично обчислення довжини дуги називалося спрямленням кривої. Задача спрямляння виявилася набагато складнішою, ніж обчислення площі, і в античні часи єдине успішне спрямлення було виконано для кола. Декарт навіть висловлював думку, що «відношення між прямим і кривим невідоме, і навіть, думаю, не може бути пізнане людьми». Першим досягненням стало спрямлення параболи Нейла (1657), виконане Ферма і самим Нейлом. Незабаром було знайдено довжину дуги циклоїди (Рен, Гюйгенс). Грегорі (ще до відкриття математичного аналізу) створив загальну теорію знаходження довжини дуги, яка негайно була використана для різних кривих.

• Варіація функції
• Диференціальна геометрія кривих

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 2. — К. : Вища школа, 1993. — 375 с. — ISBN 5-11-003758-2.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 550+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 2. — К. : Либідь, 1994. — 304 с. — ISBN 5-325-00351-X.(укр.)
• Обчислення довжини дуги кривої // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 428. — 594 с.