Визначені інтеграли без явних первісних

Визначені інтеграли без явних первісних

Деякі функції, чиї первісні не можуть бути представлені явно, тим не менш їхні деякі визначені інтеграли можуть бути обчислені.

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{n-1}\,e^{-x}\,dx}=\int _{0}^{1}{\left(\ln {\frac {1}{x}}\right)^{n-1}\,dx}=\Gamma (n)=(n-1)!}$   (де ${\displaystyle \Gamma (x)\!}$ — Гамма-функція)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}=\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{n}e^{-a^{2}x^{2}}\,dx}={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{2a^{n+1}}}}$,  де ${\displaystyle a>0\!}$; (дивись також Гамма-функція)

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{(1+x^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}dx}={\frac {{\sqrt {\nu \pi }}\ \Gamma (\nu /2)}{\Gamma ((\nu +1)/2)}}\,}$,  де ${\displaystyle \nu >0\,}$,  має відношення до функція густини ймовірності для T-розподілу Стьюдента

${\displaystyle \int _{0}^{1}{x^{m-1}\,(1-x)^{n-1}\,dx}={\frac {\Gamma (m)\,\Gamma (n)}{\Gamma (m+n)}}=B(m,n)}$,  де ${\displaystyle m,n\,>\,0\!}$, а ${\displaystyle B(m,n)\!}$ — Бета-функція

${\displaystyle \int _{0}^{a}{x^{m-1}\,(a-x)^{n-1}\,dx}=a^{m+n-1}\,{\frac {\Gamma (m)\Gamma (n)}{\Gamma (m+n)}}=a^{m+n-1}\,B(m,n)}$,  де ${\displaystyle a,m,n\,>\,0\!}$  й ${\displaystyle B(m,n)\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{{\frac {x^{m-1}+x^{n-1}}{(1+x)^{m+n}}}\,dx}={\frac {\Gamma (m)\,\Gamma (n)}{\Gamma (m+n)}}=B(m,n)}$,  де ${\displaystyle m,n\,>\,0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{{\frac {x^{m}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx}}$	${\displaystyle ={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\,{\frac {\Gamma \left({\frac {m+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {m+2}{2}}\right)}}}$,  коли ${\displaystyle m\,>\,-1\!}$  й ${\displaystyle m\!}$ довільне число;
	${\displaystyle ={\frac {2\cdot 4\cdot 6\cdot ...\cdot (m-1)}{3\cdot 5\cdot 7\cdot ...\cdot m}}}$,  коли ${\displaystyle m\,>\,1\!}$ й ${\displaystyle m\!}$ непарне число;
	${\displaystyle ={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (m-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot ...\cdot m}}\,{\frac {\pi }{2}}}$,  коли ${\displaystyle m\,>\,0\!}$ й ${\displaystyle m\!}$ парне число;

${\displaystyle \int _{0}^{1}{x^{m}+{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx}={\frac {1}{m+2}}\,\int _{0}^{1}{{\frac {x^{m}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx}}$,  де ${\displaystyle m\!}$ довільне число й ${\displaystyle m\,>\,-1\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{n}}}}={\frac {\sqrt {\pi }}{n}}\,{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2}}\right)}}}$,  де ${\displaystyle n\,>\,0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{m}\,dx}{\sqrt {1-x^{n}}}}={\frac {\sqrt {\pi }}{n}}\,{\frac {\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)}{\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}+{\frac {1}{2}}\right)}}}$,  де ${\displaystyle m+1,n\,>\,0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{x^{m}\,(1-x^{2})^{p}\,dx}={\frac {\Gamma (p+1)\Gamma \left({\frac {m+1}{2}}\right)}{2\Gamma \left(p+{\frac {m+3}{2}}\right)}}}$,  де ${\displaystyle p+1,m+1\,>\,0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{x^{m}\,(1-x^{n})^{p}\,dx}={\frac {\Gamma (p+1)\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)}{n\Gamma \left(p+1+{\frac {m+1}{n}}\right)}}}$,  де ${\displaystyle p+1,m+1,n\,>\,0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{n}\,dx}{1+x}}=(-1)^{n}\left[\ln {2}-1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+...+{\frac {(-1)^{n}}{n}}\right]}$, де ${\displaystyle n\,=\,1,2,3,...\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{n-1}\,dx}{1+x^{m}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+m}}+{\frac {1}{n+2m}}-{\frac {1}{n+3m}}+...}$,  де ${\displaystyle m,n\,>\,0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x+x^{2}}}={\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1-x+x^{2}}}={\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{p-1}\,dx}{(1-x)^{p}}}={\frac {\pi }{\sin {p\pi }}}}$,  де ${\displaystyle 0\,<\,p\,<\,1\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{{\frac {x^{p}+x^{-p}}{1+x^{2}}}\,dx}={\frac {\pi }{2\cos {\frac {p\pi }{2}}}}}$,  де ${\displaystyle -1\,<\,p\,<\,1\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}$ (Гаусовий інтеграл)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{xe^{-a^{2}x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-a^{2}x^{2}}\,dx}={\frac {\sqrt {\pi }}{4a^{3}}}}$, де ${\displaystyle a>0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{2i+1}e^{-a^{2}x^{2}}\,dx}={\frac {a!}{2a^{2i+2}}}}$, де ${\displaystyle a>0;\;\;\!i=1,2,3...}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{2i+1}e^{-a^{2}x^{2}}\,dx}={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2i-1)}{2^{i+1}a^{2i+1}}}{\sqrt {\pi }}}$, де ${\displaystyle a>0;\;\;\!i=1,2,3...}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ (дивись також числа Бернуллі)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {1}{e^{ax}+1}}\,dx}={\frac {\ln {2}}{a}}}$ де ${\displaystyle a>0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{ax}+1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{12a^{2}}}}$ де ${\displaystyle a>0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{ax}+1}}\,dx}={\frac {7}{120}}{\frac {\pi ^{4}}{a^{4}}}}$ де ${\displaystyle a>0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}{x}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}{x}\,dx={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot n}}{\frac {\pi }{2}}}$ (якщо n парне число і ${\displaystyle \scriptstyle {n\geq 2}}$)

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}{x}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}{x}\,dx={\frac {2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot (n-1)}{3\cdot 5\cdot 7\cdot \cdots \cdot n}}}$ (якщо ${\displaystyle \scriptstyle {n}}$ непарне число і ${\displaystyle \scriptstyle {n\geq 3}}$)

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx=\left\{{\begin{array}{cc}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&|\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\mbox{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$ (для цілих ${\displaystyle \scriptstyle \alpha ,\beta ,m,n}$ з ${\displaystyle \scriptstyle \beta \neq 0}$ і ${\displaystyle \scriptstyle m,n\geq 0}$, дивись також Біноміальний коефіцієнт)

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx=0}$ (для дійсних ${\displaystyle \scriptstyle \alpha ,\beta }$ і невід'ємного цілого ${\displaystyle \scriptstyle n}$, дивись також Симетрія)

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx=\left\{{\begin{array}{cc}(-1)^{(n+1)/2}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\mbox{ odd}},\ \alpha =\beta (2m-n)\\0&{\mbox{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$ (для цілих ${\displaystyle \scriptstyle \alpha ,\beta ,m,n}$ з ${\displaystyle \scriptstyle \beta \neq 0}$ і ${\displaystyle \scriptstyle m,n\geq 0}$, дивись також Біноміальний коефіцієнт)

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx=\left\{{\begin{array}{cc}(-1)^{n/2}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\mbox{ even}},\ |\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\mbox{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$ (для цілих ${\displaystyle \scriptstyle \alpha ,\beta ,m,n}$ з ${\displaystyle \scriptstyle \beta \neq 0\!}$ та ${\displaystyle \scriptstyle m,n\geq 0\!}$, дивись також Біноміальний коефіцієнт)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}{x}}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]}$ (де ${\displaystyle \exp[u]\!}$ експонента ${\displaystyle e^{u}}$, і ${\displaystyle a>0\!}$)

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)}$ (де ${\displaystyle I_{0}(x)\!}$ модифікована Функція Бесселя першого роду)

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \sin x\,dx=-\,{\frac {\pi }{2}}\ln 2}$

Для загального випадку, якщо первісної не існує, застосовується метод вичерпання:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)\,dx}=(b-a)\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)2^{-n}).}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}[\ln(1/x)]^{p}\,dx=p!}$

• Двайт Г. Б. Определённые интегралы // Таблицы интегралов и другие математические формулы / пер. с англ. Н. В. Леви ; под ред. К. А. Семендяева. — М. : Наука, 1978. — С. 180-222. (рос.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)