Вписане коло

Вписане коло трикутника — це найбільше коло, розташоване в трикутнику, яке дотичне до трьох його сторін.

Аналогічно, вписане коло багатокутника — це найбільше коло, що розташоване всередині багатокутника, і яке дотикається до всіх його сторін.

Центр вписаного в трикутник кола називають інцентром. Інцентр також є точкою перетину бісектрис трикутника. Традиційно позначають латинською літерою I.

Центр вписаного кола можна знайти, як точку перетину трьох бісектрис внутрішніх кутів.

Зовнівписане коло трикутника — це коло, що розташоване ззовні трикутника, і яке дотичне до однієї його сторони і продовжень двох інших сторін.

Зовнівписане коло багатокутника — це коло, що розташоване ззовні багатокутника, і яке дотикається до однієї його сторони і продовжень двох інших суміжних сторін.

Центр зовнівписаного кола можна знайти, як точку перетину бісектриси внутрішнього кута і двох бісектрис зовнішніх кутів. З цього випливає, що центр вписаного кола разом з трьома центрами зовнішніх вписаних кіл утворюють ортоцентричну систему.

Властивості інцентра

Інцентр є першим центром, чудовою точкою трикутника х(1), у Енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга.
Інцентр лежить на однаковій відстані від усіх сторін трикутника.
Інцентр ділить бісектрису кута $A$ у відношенні ${\frac {b+c}{a}}$ , де $a$ , $b$ , $c$ — сторони трикутника.
Теорема про трилисник (або лема про тризубець). Якщо продовження бісектриси кута А перетинає описане навколо трикутника ABC коло в точці $W$ , то справедлива рівність: $WB=WC=WI=WO$ , де $O$ — центр зовнішнього вписаного кола, що дотикається до сторони $BC$ .
Формула Ейлера. Квадрат відстані між інцентром $I$ і центром описаного кола $O$ дорівнює $OI^{2}=R^{2}-2Rr$ , де $R$ і $r$ — радіуси відповідно описаного та вписаного кіл.

Властивості вписаного кола

У кожен трикутник можна вписати коло, притому тільки одне.

В багатокутник можна вписати коло лише у випадку, коли всі бісектриси його внутрішніх кутів перетинаються в одній точці.

Центр I вписаного кола називається інцентром, він рівновіддалений від усіх сторін і є точкою перетину бісектрис внутрішніх кутів багатокутника.
Радіус вписаного в трикутник кола дорівнює

r={\frac {S}{p}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}

де S — площа трикутника, а p — півпериметр.

Якщо AB — основа рівнобедреного $\triangle ABC$ , то коло, дотичне до сторін кута $\angle ACB$ в точках A і B, проходить через інцентр трикутника ABC.
Якщо пряма, що проходить через точку I паралельно стороні AB, перетинає сторони BC і CA в точках A₁ і B₁, то $A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}$ .
Точки дотику вписаного в трикутник T кола з'єднані відрізками утворюють трикутник T₁.
- Бісектриси T є серединними перпендикулярами T₁.
- Нехай T₂ — ортоцентричний трикутник T₁. Тоді його сторони паралельні сторонам вихідного трикутника T.
- Нехай T₃ — серединний трикутник T₁. Тоді бісектриси T є висотами T₃.
- Нехай T₄ — ортотрикутник T₃, тоді бісектриси T є бісектрисами T₄.
Радіус вписаного в прямокутний трикутник з катетами a, b і гіпотенузою c кола дорівнює ${\frac {a+b-c}{2}}$ .
Відстань від вершини С трикутника до точки, в якій вписане коло дотикається сторони, дорівнює $d={\frac {a+b-c}{2}}=p-c$ .
Відстань від вершини C до центра вписаного кола дорівнює $l_{c}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2}})}}$ , де r — радіус вписаного кола, а γ — кут вершини C.
Відстань від вершини C до центра вписаного кола може також бути знайдено за формулами $l_{c}={\sqrt {(p-c)^{2}+r^{2}}}$ і $l_{c}={\sqrt {ab-4Rr}}$
Лема Верр'єра^[1]: нехай коло $V$ дотичне до сторін $AB$ , $AC$ і дуги $BC$ описаного кола трикутника $ABC$ . Тоді точки дотику кола $V$ зі сторонами і центр вписаного кола трикутника $ABC$ лежать на одній прямій.