Гіперболічний трикутник

У гіперболічній геометрії гіперболічний трикутник є трикутником на гіперболічній площині. Він складається з трьох відрізків, які називаються сторонами або ребрами, і трьох точок, званих кутами або вершинами.

Як і в евклідовому випадку, три точки гіперболічного простору довільної розмірності завжди лежать в одній площині. Отже, планарні гіперболічні трикутники також описують трикутники, можливі в будь-яких гіперболічних просторах високої розмірності.

Гіперболічний трикутник складається з трьох неколінеарних точок і трьох відрізків між ними^[1].

Гіперболічні трикутники мають деякі властивості, аналогічні властивостям трикутників у евклідовій геометрії:

• Кожен гіперболічний трикутник має вписане коло, але не будь-який гіперболічний трикутник має описане коло (див. нижче)^[2][3]. Його вершини можуть лежати на орициклі або гіперциклі.

Гіперболічні трикутники мають деякі властивості, аналогічні властивостям трикутників у сферичній або еліптичній геометрії:

• Два трикутника з однаковою сумою кутів рівні за площею.
• Існує верхня межа площі трикутників.
• Існує верхня межа радіуса вписаного кола.
• Два трикутники конгруентні тоді й лише тоді, коли вони переходять один в інший внаслідок скінченного числа відбиттів відносно прямої.
• Два трикутники з рівними відповідними кутами конгруентні (тобто всі подібні трикутники конгруентні).

Гіперболічні трикутники мають деякі властивості, які протилежні властивостям трикутників у сферичній або еліптичній геометрії:

• Сума кутів трикутника менша від 180°.
• Площа трикутника пропорційна дефіциту його суми кутів (до 180°).

Гіперболічні трикутники мають деякі властивості, яких немає в інших геометріях:

• Деякі гіперболічні трикутники не мають описаного кола, що буває у разі, коли принаймні одна з вершин є ідеальною точкою або коли всі вершини лежать на орициклі або на односторонньому гіперциклі.
• Гіперболічні трикутники тонкі, існує найбільша відстань δ від точки на стороні до інших двох сторін. Цей принцип призводить до появи δ-гіперболічних просторів.

Визначення трикутника можна узагальнити, якщо дозволити вершинам лежати на ідеальній межі гіперплощини, при цьому сторони повинні лежати всередині площини. Якщо пара сторін є асимптотично паралельними (тобто відстань між ними прямує до нуля при прямуванні до ідеальної точки, але вони не перетинаються), то вони закінчуються в ідеальній вершині, представленій омега-точкою.

Кажуть, що така пара сторін утворює нульовий кут.

Трикутник з нульовим кутом неможливий в евклідовій геометрії для прямолінійних сторін, що лежать на різних прямих. Однак такі нульові кути можливі для дотичних кіл^[en].

Трикутник з однією ідеальною вершиною називається омега-трикутником.

Особливі види трикутників з ідеальними вершинами:

Трикутник, у якому одна вершина є ідеальною точкою, один кут прямий — третій кут є кутом паралельності для сторони між прямим кутом і третім кутом.

Трикутник, у якому дві вершини є ідеальними точками, а третій кут є прямим. Це один з перших гіперболічних трикутників (1818), який описав Фердинанд Карл Швайкерт.

Трикутник, у якому всі вершини є ідеальними точками. Такий трикутник є найбільшим з можливих трикутників у гіперболічній геометрії, оскільки має нульову суму кутів.

Зв'язки між кутами і сторонами аналогічні зв'язкам між такими ж об'єктами в сферичній тригонометрії. Масштаб довжини для сферичної та гіперболічної геометрії можна, наприклад, визначити як довжину сторони рівностороннього трикутника з фіксованими кутами.

Масштаб довжини найзручніший, якщо довжини вимірюються в термінах абсолютної довжини (спеціальної одиниці довжини, аналогічної відношенню між відстанями в сферичній геометрії). Вибір масштабу довжини робить формули простішими^[4].

У термінах моделі Пуанкаре у верхній півплощині абсолютна довжина відповідає інфінітезимальній метриці ${\displaystyle ds={\frac {|dz|}{\operatorname {Im} (z)}}}$, а в дисковій моделі Пуанкаре відповідає ${\displaystyle ds={\frac {2|dz|}{1-|z|^{2}}}}$

У термінах (сталої негативної) кривини Гауса K гіперболічної площини одиниця абсолютної довжини відповідає довжині

${\displaystyle R={\frac {1}{\sqrt {-K}}}.}$

У гіперболічномму трикутнику сума кутів A, B, C (відповідних протилежним сторонам з тими ж буквами) строго менша від розгорнутого кута. Різниця між мірою розгорнутого кута і сумою мір кутів трикутника називається дефектом трикутника. Площа гіперболічного трикутника дорівнює його дефекту, помноженому на квадрат R:

${\displaystyle (\pi -A-B-C)R^{2}{}{}.\!}$

Ця теорема, вперше доведена Йоганном Генріхом Ламбертом^[5], пов'язана з теоремою Жирара у сферичній геометрії.

У всіх формулах нижче сторони a, b і c мають бути виміряні за абсолютною довжиною, одиниці, такій, що кривина Гауса K поверхні дорівнює −1. Іншими словами, величину R слід прийняти рівною 1.

Тригонометричні формули для гіперболічних трикутників залежать від гіперболічних функцій sh, ch і th.

Якщо C позначає прямий кут, то:

• Синус кута A дорівнює гіперболічному синусу протилежної до кута сторони A, поділеному на гіперболічний синус гіпотенузи c.

${\displaystyle \sin A={\frac {\mathrm {sh} \,a}{\,\mathrm {sh} \,c\,}}.\,}$

• Косинус кута A дорівнює гіперболічному тангенсу прилеглого катета b, поділеному на гіперболічний тангенс гіпотенузи c.

${\displaystyle \cos A={\frac {\mathrm {th} \,b}{\,\mathrm {th} \,c\,}}.\,}$

• Тангенс кута A дорівнює гіперболічному тангенсу протилежного катета a, поділеного на гіперболічний синус прилеглого катета b.

${\displaystyle \mathrm {tg} \,A={\frac {\mathrm {th} \,a}{\,\mathrm {sh} \,b\,}}.}$

• Гіперболічний косинус прилеглого катета b кута A дорівнює косинусу кута B, поділеному на синус кута A.

${\displaystyle {\textrm {ch(b)}}={\frac {\cos B}{\sin A}}.}$

• Гіперболічний косинус гіпотенузи c дорівнює добутку гіперболічних косинусів катетів a і b.

${\displaystyle {\textrm {ch(c)}}={\textrm {ch(a)}}{\textrm {ch(b)}}.}$

• Гіперболічний косинус гіпотенузи H дорівнює добутку косинусів кутів, поділеному на твір їх синусів^[6].

${\displaystyle {\textrm {ch(H)}}={\frac {\cos A\cos B}{\sin A\sin B}}=\mathrm {ctg} \,A\mathrm {ctg} \,B}$

Виконуються такі співвідношення^[7]:

${\displaystyle \cos A=\mathrm {ch} \,a\sin B}$

${\displaystyle \sin A={\frac {\cos B}{\mathrm {ch} \,b}}}$

${\displaystyle \mathrm {tg} \,A={\frac {\cot B}{\mathrm {ch} \,c}}}$

${\displaystyle \cos B=\mathrm {ch} \,b\sin A}$

${\displaystyle \mathrm {ch} \,c=\mathrm {ctg} \,A\mathrm {ctg} \,B}$

Площа прямокутного трикутника дорівнює:

Площа ${\displaystyle ={\frac {\pi }{2}}-\angle A-\angle B}$

а також

${\displaystyle {\textrm {Area}}=2\arctan(\mathrm {th} \,({\frac {a}{2}})\mathrm {th} \,({\frac {b}{2}}))}$^[8].

Примірник омега-трикутника з прямим кутом дає конфігурацію для перевірки кута паралельності в трикутнику.

У випадку, коли кут B = 0, a = c = ${\displaystyle \infty }$ і ${\displaystyle {\textrm {th}}(\infty )=1}$, отримуємо ${\displaystyle \cos A={\textrm {th(b)}}}$ (b = прилеглий катет).

Тригонометричні формули для прямокутних трикутників дають також відношення між сторонами s і кутами A рівностороннього трикутника (трикутника, у якого всі сторони мають однакову довжину і всі кути рівні):

${\displaystyle \cos A={\frac {{\textrm {th}}{\frac {1}{2}}s}{{\textrm {th}}(s)}}}$

${\displaystyle \mathrm {ch} \,{\frac {1}{2}}s={\frac {\cos({\frac {1}{2}}A)}{\sin(A)}}={\frac {1}{2\sin({\frac {1}{2}}A)}}}$

Незалежно від того, є C прямим кутом чи ні, виконуються такі співвідношення:

Гіперболічний закон косинусів^[en]:

${\displaystyle \mathrm {ch} \,c=\mathrm {ch} \,a\mathrm {ch} \,b-\mathrm {sh} \,a\mathrm {sh} \,b\cos C,}$

Двоїста закону теорема

${\displaystyle \cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\mathrm {ch} \,c,}$

Існує також закон синусів:

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\mathrm {sh} \,a}}={\frac {\sin B}{\mathrm {sh} \,b}}={\frac {\sin C}{\mathrm {sh} \,c}},}$

і чотиричленна формула:

${\displaystyle \cos C\mathrm {ch} \,a=\mathrm {sh} \,a\mathrm {ch} \,b-\sin C\mathrm {ctg} \,B.}$

• Трусики (математика)^[en]
• Група трикутника^[en]

Для гіперболічної тригонометрії:

• Чотирикутник Ламберта
• Чотирикутник Саккері

• Svetlana Katok (1992) Fuchsian Groups, University of Chicago Press