Відстань від точки до прямої

В евклідовій геометрії відстань (або перпендикулярна відстань) від точки до прямої — найкоротша відстань від нерухомої точки до будь-якої точки на нерухомій нескінченній прямій. Довжина відрізка, який з'єднує точку з прямою та перпендикулярний до цієї прямої. Формулу для обчислення відстані можна вивести та виразити кількома способами.

Знати найкоротшу відстань від точки до прямої може бути корисно в різних ситуаціях — наприклад, для знаходження найкоротшої відстані до дороги, кількісної оцінки розсіювання на графіку тощо. У регресії Демінга, типі лінійної апроксимації за допомогою кривої, якщо залежні та незалежні змінні мають однакову дисперсію, це призводить до ортогональної регресії, в якій ступінь недосконалості апроксимації вимірюють для кожної точки даних як перпендикулярну відстань від точки до лінії регресії.

У випадку прямої на площині, заданої рівнянням ${\displaystyle ax+by+c=0}$, де ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ та ${\displaystyle c}$ — дійсні сталі, причому ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ не дорівнюють нулю, відстань від прямої до точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ дорівнює^[1][2]:p.14

${\displaystyle \operatorname {distance} (ax+by+c=0,(x_{0},y_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Точка на цій прямій, розташована найближче до ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$_, має координати:^[3]

${\displaystyle x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}}{\text{ і }}y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}.}$

Горизонтальні та вертикальні прямі

У загальному рівнянні прямої, ${\displaystyle ax+by+c=0}$, ${\displaystyle a}$ та ${\displaystyle b}$ не можуть обидва дорівнювати нулю, якщо ${\displaystyle c}$ також не дорівнює нулю (в цьому випадку рівняння не визначає пряму). Якщо ${\displaystyle a=0}$ та ${\displaystyle b\neq 0}$, пряма горизонтальна і має рівняння ${\displaystyle y=-c/b}$. Відповідно до формули, відстань від ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ до цієї прямої вимірюється вздовж вертикального відрізка довжиною ${\displaystyle |y_{0}-(-c/b)|=|by_{0}+c|/|b|}$. Аналогічно, для вертикальних прямих (${\displaystyle b=0}$) відстань між тією ж точкою та прямою, виміряна вздовж горизонтального відрізка, дорівнює ${\displaystyle |ax_{0}+c|/|a|}$.

Якщо пряма проходить через дві точки ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1})}$ та ${\displaystyle P_{2}=(x_{2},y_{2})}$_, то відстань ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ від прямої дорівнює:

${\displaystyle \operatorname {distance} (P_{1},P_{2},(x_{0},y_{0}))={\frac {|(y_{2}-y_{1})x_{0}-(x_{2}-x_{1})y_{0}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}|}{\sqrt {(y_{2}-y_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}}}.}$

Знаменник цього виразу — це відстань між ${\displaystyle P_{1}}$ та ${\displaystyle P_{2}}$. Чисельник дорівнює подвоєній площі трикутника з вершинами в трьох точках ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$, ${\displaystyle P_{1}}$ та ${\displaystyle P_{2}}$. Вираз еквівалентний ${\textstyle h={\frac {2S}{b}}}$, який можна отримати з формули площі трикутника: ${\textstyle S={\frac {1}{2}}bh}$, де ${\displaystyle b}$ — довжина сторони, а ${\displaystyle h}$ — висота, опущена з протилежної вершини.

Якщо пряма проходить через точку P = (P_x, P_y) під кутом θ, то відстань від деякої точки (x₀, y₀) до прямої дорівнює

${\displaystyle \operatorname {distance} (P,\theta ,(x_{0},y_{0}))=|\cos(\theta )(P_{y}-y_{0})-\sin(\theta )(P_{x}-x_{0})|}$

Це доведення справедливе лише тоді, коли пряма не є ні вертикальною, ні горизонтальною, тобто, ні ${\displaystyle a}$, ні ${\displaystyle b}$ у рівнянні прямої не дорівнюють нулю.

Пряма з рівнянням ${\displaystyle ax+by+c=0}$ має кутовий коефіцієнт ${\displaystyle -a/b}$, тому будь-яка пряма, перпендикулярна до неї, матиме кутовий коефіцієнт ${\displaystyle b/a}$ (від'ємна обернена величина). Нехай ${\displaystyle (m,n)}$ — точка перетину прямої ${\displaystyle ax+by+c=0}$ та перпендикулярної до неї прямої, яка проходить через точку (x₀, y₀). Пряма, що проходить через ці дві точки, перпендикулярна до початкової прямої, тому

${\displaystyle {\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}}={\frac {b}{a}}.}$

Отже, ${\displaystyle a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0,}$ і, піднісши це рівняння до квадрата, отримуємо:

${\displaystyle a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}=2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m).}$

Також

${\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=a^{2}(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_{0}-n)^{2}=(a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})}$,

зі згаданого вище квадратного рівняння. Але в нас також є,

${\displaystyle (a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}$

оскільки ${\displaystyle (m,n)}$ лежить на ${\displaystyle ax+by+c=0}$. Отже,

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}$

і для довжини відрізка прямої, визначеного цими двома точками, маємо

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Це доведення справедливе лише тоді, коли пряма не є горизонтальною чи вертикальною.^[4]

Опустимо перпендикуляр із точки ${\displaystyle P}$ з координатами ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ на пряму з рівнянням ${\displaystyle Ax+By+C=0}$. Нехай ${\displaystyle R}$ — основа перпендикуляра. Проведемо вертикальну пряму через точку ${\displaystyle P}$ та позначимо точку її перетину із заданою прямою ${\displaystyle S}$. Починаючи з будь-якої точки ${\displaystyle T}$ на прямій накресліть прямокутний трикутник ${\displaystyle TVU}$, катети якого — горизонтальний та вертикальний відрізки, гіпотенуза ${\displaystyle TU}$ лежить на заданій прямій, а довжина горизонтального катета ${\displaystyle |B|}$ (див. малюнок). Вертикальний катет ${\displaystyle \bigtriangleup TVU}$ матиме довжину ${\displaystyle |A|}$, оскільки кутовий коефіцієнт прямої ${\displaystyle -A/B}$.

${\displaystyle \bigtriangleup PRS}$ та ${\displaystyle \bigtriangleup TVU}$ подібні, оскільки вони обидва прямокутні, а ${\displaystyle \angle PSR\cong \angle TUV}$, оскільки вони є відповідними кутами при січній до паралельних прямих ${\displaystyle PS}$ та ${\displaystyle UV}$ (обидві прямі вертикальні). Відповідні сторони цих трикутників пропорційні, тому:

${\displaystyle {\frac {|{\overline {PR}}|}{|{\overline {PS}}|}}={\frac {|{\overline {TV}}|}{|{\overline {TU}}|}}.}$

Якщо точка ${\displaystyle S}$ має координати ${\displaystyle (x_{0},m)}$, то ${\displaystyle |PS|=|y_{0}-m|}$, а відстань від ${\displaystyle P}$ до прямої дорівнює:

${\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|y_{0}-m||B|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}$

Оскільки ${\displaystyle S}$ лежить на прямій, ми можемо знайти значення ${\displaystyle m}$,

${\displaystyle m={\frac {-Ax_{0}-C}{B}},}$

і нарешті отримати:^[5]

${\displaystyle |{\overline {PR}}|={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}$

Варінтом цього доведення є розміщення ${\displaystyle V}$ у точці ${\displaystyle P}$ та обчислення площі трикутника ${\displaystyle \bigtriangleup UVT}$ двома способами, щоб отримати це ${\displaystyle D|{\overline {TU}}|=|{\overline {VU}}||{\overline {VT}}|}$ де ${\displaystyle D}$ — висота ${\displaystyle \bigtriangleup UVT}$, проведена до гіпотенеузи ${\displaystyle \bigtriangleup UVT}$ з ${\displaystyle P}$. Формулу відстані можна потім використовувати для виражання ${\displaystyle |{\overline {TU}}|}$, ${\displaystyle |{\overline {VU}}|}$, та ${\displaystyle |{\overline {VT}}|}$ через координати ${\displaystyle P}$ та коефіцієнти рівняння прямої, щоб отримати зазначену формулу.^{[джерело?]}

Нехай ${\displaystyle P}$ — точка з координатами ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$_, а задана пряма має рівняння ${\displaystyle ax+by+c=0}$. Також, нехай ${\displaystyle Q=(x_{1},y_{1})}$ — будь-яка точка на цій прямій, а ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — вектор ${\displaystyle (a,b)}$, що починається в точці ${\displaystyle Q}$. Вектор ${\displaystyle \mathbf {n} }$ перпендикулярний до прямої, а відстань ${\displaystyle d}$ від точки ${\displaystyle P}$ до прямої дорівнює довжині ортогональної проекції ${\displaystyle {\overrightarrow {QP}}}$ на ${\displaystyle \mathbf {n} }$. Довжину цієї проєкції визначають за формулою:

${\displaystyle d={\frac {|{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} |}{\|\mathbf {n} \|}}.}$

Тепер,

${\displaystyle {\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1}),}$ тому ${\displaystyle {\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})}$ і ${\displaystyle \|\mathbf {n} \|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},}$

отже

${\displaystyle d={\frac {|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Оскільки ${\displaystyle Q}$ — точка на прямій, ${\displaystyle c=-ax_{1}-by_{1}}$, то^[6]

${\displaystyle d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Можна сформулювати інший вираз для знаходження найкоротшої відстані від точки до прямої. У цьому випадку теж потрібно, щоб лінія не була вертикальною чи горизонтальною.

Нехай точка ${\displaystyle P}$ має координати ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$. Рівняння прямої — ${\displaystyle y=mx+k}$. Рівняння нормалі до прямої, яка проходить через точку P, — ${\displaystyle y={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}}$.

Точка перетину цих прямих є найближчою точкою на початковій прямій до точки P. Отже:

${\displaystyle mx+k={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}.}$

Розв'яжемо це рівняння відносно ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle x={\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}.}$

Координату ${\displaystyle y}$ точки перетину можна знайти, підставивши цей вираз для ${\displaystyle x}$ у рівняння початкової прямої,

${\displaystyle y=m{\frac {(x_{0}+my_{0}-mk)}{m^{2}+1}}+k.}$

Скориставшись формулою для знаходження відстані між двома точками, ${\displaystyle d={\sqrt {(X_{2}-X_{1})^{2}+(Y_{2}-Y_{1})^{2}}}}$, приходимо до висновку, що формула для найкоротшої відстані між прямою і точкою така:

${\displaystyle d={\sqrt {\left({{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}-x_{0}}\right)^{2}+\left({m{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}+k-y_{0}}\right)^{2}}}={\frac {|k+mx_{0}-y_{0}|}{\sqrt {1+m^{2}}}}.}$

Зважаючи на те, що для прямої ${\displaystyle ax+by+c=0}$ ${\displaystyle m=-a/b}$ та ${\displaystyle k=-c/b}$, після алгебричних перетворень отримуємо стандартний вираз.^[7]

Рівняння прямої можна записати у векторній формі:

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} }$

Тут a — положення точки на прямій, а n — одиничний вектор у напрямку прямої. Тоді, коли скаляр ${\displaystyle t}$ змінюється, x задає геометричне місце точок прямої.

Відстань від довільної точки p до цієї прямої визначається як

${\displaystyle \operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.}$

Цю формулу можна вивести так: ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }$ — вектор від p до точки a на прямій. Тоді ${\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} }$ — це довжина проєкції на пряму, тому

${\displaystyle ((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$

— вектор, який є проекцією ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }$ на пряму. Таким чином

${\displaystyle (\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }$

є складовою ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} }$ перпендикулярною до прямої. Відстань від точки до прямої тоді є просто нормою цього вектора.^[8] Ця загальніша формула не обмежується двома вимірами.

Якщо пряма ${\displaystyle (l)}$ проходить через точку ${\displaystyle A}$ та має вектор напрямку ${\displaystyle {\vec {u}}}$, відстань між точкою ${\displaystyle P}$ та прямою ${\displaystyle (l)}$ дорівнює

${\displaystyle d(\mathrm {P} ,(l))={\frac {\left\|{\overrightarrow {\mathrm {AP} }}\times {\vec {u}}\right\|}{\|{\vec {u}}\|}}}$

де ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AP} }}\times {\vec {u}}}$ — векторний добуток векторів ${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AP} }}}$ і ${\displaystyle {\vec {u}}}$, ${\displaystyle \|{\vec {u}}\|}$ — векторна норма ${\displaystyle {\vec {u}}}$.

${\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AP} }}=P-A}$

Зауважте, що векторні добутки існують лише у розмірностях 3 та 7 і тривіально в розмірностях 0 та 1 (де векторний добуток дорівнює константі 0).

• Відстань від точки до площини
• Відстань між двома точками

• Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (вид. 7th), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
• Ballantine, J.P.; Jerbert, A.R. (1952), Distance from a line or plane to a point, American Mathematical Monthly, 59: 242—243, doi:10.2307/2306514
• Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus: A Concise Course, Houghton Mifflin Co., ISBN 0-618-62719-7
• Spain, Barry (2007) [1957], Analytical Conics, Dover Publications, ISBN 0-486-45773-7
• Deza, Michel Marie; Deza, Elena (2013), Encyclopedia of Distances (вид. 2nd), Springer, с. 86, ISBN 9783642309588