Гармонічна четвірка

Гармонічна четвірка точок — четвірка точок на проєктивній прямій, подвійне відношення яких ${\displaystyle (ABCD)=-1}$. В цьому випадку кажуть також, що точки ${\displaystyle C}$ і ${\displaystyle D}$ гармонічно спряжені відносно ${\displaystyle A,B}$ і пишуть ${\displaystyle H(AB,CD)}$.

Гармонічна четвірка прямих — четвірка прямих ${\displaystyle a,b,c,d}$ у проєктивній площині, що проходять через одну точку ${\displaystyle S}$, для яких будь-яка четвірка точок ${\displaystyle A,B,C,D}$, така, що ${\displaystyle A\in a,B\in b,C\in c,D\in d}$, що знаходяться на одній прямій, є гармонічною. В цьому випадку пишуть ${\displaystyle H(ab,cd)}$.

• Якщо гармонічну четвірку прямих перетинає пряма, то на цій прямій утворюється гармонічна четвірка точок.
• На кожній стороні повного чотиривершинника є гармонічна четвірка точок.
• На кожній діагоналі повного чотиривершинника є гармонічна четвірка точок.

Для будь-яких трьох точок, що лежать на одній прямій, користуючись гармонічними властивостями повного четиривершинника, можна побудувати четверту точку так, що вийде гармонічна четвірка точок. А саме, точки перетину поротилежних сторін повного чотиривершинника і точки перетину діагоналей з прямою, що проходить через ці точки, утворюють гармонічну четвірку точок.

• Якщо точка ${\displaystyle D_{\infty }}$ невласна, то четвірка ${\displaystyle A,B,C,D_{\infty }}$ є гармонічною, якщо ${\displaystyle C}$ — середина відрізка ${\displaystyle AB}$.
• Якщо ${\displaystyle ABCD}$ — повний чотиривершинник і його діагональні точки ${\displaystyle P_{\infty },Q_{\infty }}$ — невласні, то на розширеній евклідовій площині ${\displaystyle ABCD}$ — паралелограм, а з його гармонічних властивостей випливає, що точка перетину його діагоналей ділить їх навпіл.
• Якщо ${\displaystyle ABCD}$ — повний чотиривершинник, у якого одна діагональна точка ${\displaystyle R_{\infty }=BC\cap AD}$ — невласна, ${\displaystyle P=AB\cap CD,Q=AC\cap BD}$, то на розширеній евклідовій площині ${\displaystyle ABCD}$ — трапеція, а з його гармонічних властивостей випливає, що ${\displaystyle PQ}$ ділить ${\displaystyle AD}$ навпіл.

• Відношення напрямлених відрізків

• Базылев, Дуничев, Иваницкая. Геометрия, часть 2. — М. : Просвещение, 1975.
• Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 6-е изд.. — М., 1978.
• Певзнер С.Л. Проективная геометрия. — М. : Просвещение, 1980.
• Постников М. М. Аналитическая геометрия. — 1973.
• Х. С. М. Кокстер. Действительная проективная плоскость / под ред. проф. А. А. Глаголева — М., 1959.