Гіпотеза Борсука

Гіпотеза Борсука (задача Борсука) — спростована гіпотеза в комбінаторній геометрії:

Чи можливо довільне тіло скінченного одиничного діаметра в ${\displaystyle n}$-вимірному евклідовому просторі розбити на не більш ніж ${\displaystyle n+1}$ частину так, що діаметр кожної частини буде меншим за 1?

Висунув Кароль Борсук^[pl] 1933 року. Відіграла значну роль у розвитку комбінаторної геометрії XX століття: протягом тривалого періоду гіпотезу підтверджено для низки окремих випадків^[⇨] та основні зусилля були спрямовані на пошук доведень у загальному випадку, оскільки вагомих сумнівів у її справедливості не виникало^[1]. Однак 1993 року знайдено контрприклад^[⇨].

Станом на 2023 доведено, що гіпотеза істинна при ${\displaystyle n\leqslant 3}$, і хибна для ${\displaystyle n\geqslant 64}$, статус твердження для ${\displaystyle 4\leqslant n<64}$ залишається нез'ясованим.

Випадок ${\displaystyle n=1}$ очевидний. Випадок ${\displaystyle n=2}$ довів 1933 року сам Борсук, скориставшись результатом Дюли Пала^[hu] 1929 року, згідно з яким будь-яку фігуру діаметра 1 можна помістити в правильний шестикутник ширини 1, а такий шестикутник у свою чергу допускає розрізання на три п'ятикутники діаметра ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}<1}$ . Крім того, Борсук довів, що ${\displaystyle n}$-вимірну кулю не можна розділити на ${\displaystyle n}$ частин меншого діаметра, тим самим затвердивши нижню оцінку кількості частин (доведення ґрунтується на теоремі Борсука — Уляма).

1946 року Гадвігер^[en] довів справедливість гіпотези при всіх ${\displaystyle n}$ для опуклих тіл із гладкою межею^[2].

1947 року Юліан Перкаль^[pl] довів випадок ${\displaystyle n=3}$ для всіх обмежених тіл^[3], незалежно від нього 1955 року цей самий результат отримав британський математик Егглстон; просте доведення, подібний до Борсукового, знайшли пізніше Бранко Ґрюнбаумом і Альдар Геппеш; вони довели, що будь-яке тіло діаметра 1 можна помістити у певний октаедр з відсіченими трьома вершинами, який у свою чергу допускає розбиття на 4 частини діаметра менше 0,9888.

Щонайменше від початку 1970-их років гіпотезу підтверджено для центрально-симетричних тіл. 1971 року Клод Роджерс довів гіпотезу для будь-якої множини, інваріантної відносно дії групи перетворень, які залишають на місці правильний ${\displaystyle n}$-вимірний симплекс.

1993 року Борис Декстер установив справедливість гіпотези для опуклих тіл з поясом із регулярних точок^[4], 1995 року він позитивно розв'язав задачу для всіх тіл обертання в довільних розмірностях^[5].

Число Борсука ${\displaystyle f(n)}$ — найменша кількість можливих частин меншого діаметра, на які можна розбити будь-яке обмежене тіло в ${\displaystyle n}$-вимірному просторі. Паралельно з підтвердженням гіпотези ${\displaystyle f(n)=n+1}$ в окремих випадках, покращувалися нижні та верхні оцінки для ${\displaystyle f(n)}$. Порівняно легко отримані оцінки ${\displaystyle f(n)\leqslant (2{\sqrt {n}}+1)^{n}}$ і ${\displaystyle f(n)\leqslant 2^{n}}$. 1983 року Маршалл Лассак з'ясував, що ${\displaystyle f(n)\leqslant 2^{n-1}+1}$.

Серед асимптотичних верхніх оцінок довгий час найкращою була оцінка Клода Роджерса^[en] (1965): ${\displaystyle f(n)\leqslant {\big (}{\sqrt {2}}+o(1){\big )}^{n}}$; 1988 року Одед Шрамм^[en] показав, що:

${\displaystyle f(n)\leqslant {\Big (}{\sqrt {\tfrac {3}{2}}}+o(1){\Big )}^{n}}$.

Заперечний розв'язок задачі в загальному випадку виявили 1993 року Гіль Калаї^[en] і Джефф Кан^[en][6], які побудували контрприклад у розмірності ${\displaystyle n=1325}$ та довели невиконання гіпотези для всіх ${\displaystyle n>2014}$. Крім того, вони показали, що для досить великих ${\displaystyle n}$, існують ${\displaystyle n}$-вимірні тіла, які не можна розбити на ${\displaystyle {\big (}1{,}203+o(1){\big )}^{\sqrt {n}}}$ частин меншого діаметра. В наступні роки розмірність, вище від якої гіпотеза не виконується, послідовно знижувалася:

• 1993 — ${\displaystyle n\geqslant 2015}$ (Калаї — Кан),
• 1994 — ${\displaystyle n\geqslant 946}$ (Ніллі),
• 1997 — ${\displaystyle n\geqslant 903}$ (Вайсбах — Грей),
• 1997 — ${\displaystyle n\geqslant 561}$ (Райгородський)^[7],
• 2000 — ${\displaystyle n\geqslant 560}$ (Вайсбах),
• 2001 — ${\displaystyle n\geqslant 324}$ (Гінрігз),
• 2002 — ${\displaystyle n\geqslant 323}$ (Піхурко),
• 2003 — ${\displaystyle n\geqslant 298}$ (Гінрігз — Ріхтер)^[8],
• 2013 — ${\displaystyle n\geqslant 65}$ (Бондаренко)^[9],
• 2013 — ${\displaystyle n\geqslant 64}$ (Єнріх)^[10].

Для побудови контрприкладів у всіх випадках використано скінченні множини та тонкі комбінаторні результати^[11]. Нижні оцінки для найменшого числа частин меншого діаметра в більшості контрприкладів — ${\displaystyle {\big (}1{,}203+o(1){\big )}^{\sqrt {n}}}$, у одному з результатів Райгородського (1999) цю оцінку покращено до ${\displaystyle {\big (}1{,}2255+o(1){\big )}^{\sqrt {n}}}$.

1953 року Девід Ґейл^[en] висунув гіпотезу, що будь-яке тіло одиничного діаметра в тривимірному просторі допускає розбиття на 4 частини з діаметром:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {3+{\sqrt {3}}}{6}}}\approx 0{,}888}$,

тобто, куля є «найгіршим» у цьому сенсі тілом^[12].

1971 року гіпотезу Борсука підтверджено для сферичного та гіперболічного просторів при ${\displaystyle n=2,3}$^[13].

1991 року цей результат узагальнено на довільні розмірності для центрально-симетричних опуклих гіперповерхонь^[14].

2012 року вивчено аналоги проблеми Борсука у просторі ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}$ з евклідовою метрикою та з метрикою ${\displaystyle l_{p}}$^[15].

2019 року розглянуто питання про розбиття довільних обмежених метричних просторів на задану кількість підмножин меншого діаметра, та виявлено критерії здійсненності та нездійсненності такого розбиття залежно від відстані за метрикою Громова — Гаусдорфа від заданого простору до симплексів заданої потужності, де під симплексом розуміють метричний простір, у якому всі ненульові відстані однакові^[16].

• В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. — М. : Наука, 1965. — 108 с. — (Математическая библиотечка) (містить доведення гіпотези в розмірностях 2 і 3)
• В. Г. Болтянский, И. Ц. Гохберг. Разбиение фигур на меньшие части/ серия = Популярные лекции по математике, выпуск 50. — М. : Наука, 1971. — 88 с.
• Б. Грюнбаум. Этюды по комбинаторной геометрии и теории выпуклых тел. — М. : Наука, 1971.
• А. М. Райгородский. Проблема Борсука. — М. : МЦНМО, 2006. — 56 с.
• А. Б. Скопенков. ${\displaystyle n}$-мерный куб, многочлены и решение проблемы Борсука // Математическое просвещение. — М. : МЦНМО, 1999. — Вип. 3 (3) (2 серпня).