Доведення без слів

У математиці доведення без слів (або візуальна демонстрація) — це доведення тотожності або математичного твердження, яке можна продемонструвати як очевидне за допомогою схеми, малюнка, без будь-якого супровідного пояснювального тексту. Такі доведення вважаються більш елегантними, ніж математично більш строгі, через їх очевидний характер.^[1]

Візуальні доведення доповнюють формальні словесні (письмові) доведення.

Твердження, що сума будь-якої кількості послідовних непарних чисел (починаючи з 1) завжди дорівнює квадрату кількості чисел, які додаються, можна продемонструвати доведенням без слів, яке показане на малюнку праворуч.

Перший квадрат утворений 1 блоком: 1 = 1= 1²

Другий квадрат утворений 1 чорним блоком і смужкою з 3 білих блоків: 1+3 = 4= 2²

Наступний квадрат утворений 1 чорним блоком, смужками з 3 білих та 5 чорних блоків: 1+3+5 = 9=3²

Цей процес можна продовжувати нескінченно довго.

Теорема Піфагора має багато доведень без слів. 

Існує як мінімум 114 найрізноманітніших підходів до доведення цієї теореми.

Написана між 500 до н. е. і 200 до н. е., китайська математична книга «Чу Пей» (кит. 周髀算经) дає візуальне доведення теореми Піфагора, яка в Китаї називається теорема Гугу (кит. 勾股定理), для трикутника із сторонами 3, 4, 5.

Доведення базується на двох різних обчисленнях площі великого квадрата та дає відоме співвідношення між сторонами прямокутного трикутника: ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

Хоч це доведення не є найбільш ілюстративним, та заслуговує на те, щоб бути відомим, як одне з найдавніших відомих доведень цієї теореми. Індійський математик Бхаскара (1114—1185 до н. е.) довів теорему Піфагора, намалювавши простий малюнок малюнок.

Обчислюємо площу великого квадрата двома способами: S=${\displaystyle c^{2}}$

Площа великого квадрата дорівнює сумі площ чотирьох прямокутних трикутників та маленького квадрата$${\displaystyle S=4\cdot {\frac {ab}{2}}+(b-a)^{2}=2ab+b^{2}-2ab+a^{2}=a^{2}+b^{2}}$$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Серед стародавніх індійських математиків практика словесного доведення не користувалася особливою популярністю — вони любили візуальні. Саме в стародавній Індії, як припускають вчені, зародилися перші поняття візуальних доведень

Квадрат зі стороною 1 розділили на частини. З малюнка видно, що площа одиничного квадрата дорівнює сумі площ його частин

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+...=1}$

У теорії чисел існує цікавий зв'язок між сумою послідовних кубів набору натуральних чисел і квадратом суми відповідних чисел. Виглядає це наступним чином:

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(1+2+3+...+n)^{2}}$

На малюнках зображено візуальне доведення рівності для n=5

Площа великого квадрата (мал. 1) дорівнює ${\displaystyle (1+2+3+4+5)^{2}}$

Площа цього ж квадрата (мал. 2) дорівнює ${\displaystyle 5\cdot 5^{2}+4\cdot 4^{2}+3\cdot 3^{2}+2\cdot 2^{2}+5\cdot 5^{2}+1\cdot 1^{2}=5^{3}+4^{3}+3^{3}+2^{3}+1^{3}}$

Для інших значень n доведення аналогічне.

Візуалізуємо доведення формули скороченого множення ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)}$

На першому малюнку площа зафарбованої частини квадрата дорівнює

${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$

Якщо фіолетовий прямокутник перекласти так, як показано на другому малюнку, то отримаємо прямокутник, площа якого дорівнює (x+y)(x-y)

Журнал «Математика» та « Математичний журнал коледжу» публікують постійну рубрику під назвою «Доведення без слів», що містить, візуальні доведення.^[2] На вебсайтах «Мистецтво вирішення проблем» та USAMTS працюють аплети Java, що ілюструють доведення без слів.^[3][4]

• Теорема про піцу^[en]
• Візуальне числення^[en]
• Філософія математики
• Сума степенів цілих чисел (формула Фаульхабера^[fr]),
• Нерівність Єнсена