Кватерніонна алгебра

У математиці кватерніонною алгеброю над полем F називається центральна проста алгебра A над F розмірність якої є рівною 4.

Коли F має характеристику не рівну 2, кожну кватерніонну алгебру над F можна описати як 4-вимірний векторний простір над F із базисом ${\displaystyle \{1,i,j,k\}}$ і таблицею множення для базисних елементів:

${\displaystyle i^{2}=a}$

${\displaystyle j^{2}=b}$

${\displaystyle ij=k}$

${\displaystyle ji=-k}$

де a і b є деякими ненульовими елементами поля F. Із цих рівностей також випливає:

${\displaystyle k^{2}=ijij=-iijj=-ab}$

Для позначення кватерніонної алгебри із вказаною таблицею множення використовується позначення (a,b)_F або просто (a,b).^[1]

Коли поле F має характеристику 2 таблиця множення базових елементів має трохи інший вигляд:

${\displaystyle i^{2}+i=a}$

${\displaystyle j^{2}=b}$

${\displaystyle ij=k}$

${\displaystyle ji=k+j.}$

У будь-якому випадку кватерніонна алгебра над F задана цими співвідношеннями є центральною простою алгеброю розмірності 4 над F і навпаки кожна центральна проста алгебра розмірності 4 є кватерніонною алгеброю заданою якимось із співвідношень (в залежності від характеристики).

Для елемента ${\displaystyle q=t+xi+yj+zk\ }$ кватерніонної алгебри над полем характеристика якого не є рівною 2 його спряжений елемент задається як

${\displaystyle {\bar {q}}=t-xi-yj-zk.\ }$

Для кватерніонної алгебри нормою називається відображення:

${\displaystyle N(t+xi+yj+zk)=t^{2}-ax^{2}-by^{2}+abz^{2}.\ }$

Еквівалентно ${\displaystyle N(q)=q{\bar {q}}.\ }$

Для полів довільної характеристики кватерніонну алгебру можна побудувати за допомогою етальних квадратичних алгебр, з використанням побудови Келі — Діксона.

Якщо C є етальною квадратичною алгеброю над F (тобто алгеброю ізоморфною ${\displaystyle F\oplus F,}$ або квадратичному сепарабельному розширенню поля F), то існує єдиний автоморфізм J алгебри C, що відрізняється від одиничного і називається спряженням.

Конкретно можна взяти ${\displaystyle C=F_{\mu }=F+F\nu ,}$ де ${\displaystyle \nu }$ задовольняє рівнянню ${\displaystyle \nu ^{2}=\nu +\mu ,\ 4\mu +1\neq 0.}$ Спряження у цьому випадку задається як ${\displaystyle J(\alpha +\beta \nu )=\alpha +\beta -\beta \nu .}$ Якщо многочлен ${\displaystyle x^{2}-x-\mu }$ не має коренів у F, то C є сепарабельним квадратичним розширенням поля F. Якщо цей многочлен має корені у F, то C є ізоморфною ${\displaystyle F\oplus F.}$ Наприклад для ${\displaystyle \mu =0}$ многочлен має корені у F і ізоморфізм між ${\displaystyle C=F_{\mu }}$ і ${\displaystyle F\oplus F}$ задається через співвідношення ${\displaystyle 1\to (1,1)}$ і ${\displaystyle v\to (0,1).}$ Таким чином кожна етальна квадратична алгебра C має вигляд ${\displaystyle F_{\mu }.}$

Якщо a є ненульовим елементом F то на F-векторному просторі ${\displaystyle Q=C\oplus C,}$ можна ввести множення (x, y)(x', y') = (xx' + aJ(y')y, yJ(x')+ y'x). Із цією операцією Q є кватерніонною алгеброю над F, яку позначають як (C, b)_F. Навпаки кожна кватерніонна алгебра над F може бути отримана у описаний спосіб.

Наприклад для ${\displaystyle F=\mathbb {R} ,}$ поле комплексних чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ є етальною квадратичною алгеброю і для a = –1, алгебра Q є ізоморфною звичайним кватерніонам.

Нехай F — поле довільної характеристики і L — його квадратичне сепарабельне розширення і ${\displaystyle 0\neq \xi \in F.}$ Нехай J позначає єдиний неодиничний F-автоморфізм поля L.

Тоді алгебра L + L u, де ${\displaystyle u^{2}=\xi }$ і для кожного ${\displaystyle m\in F}$ також ${\displaystyle um=J(m)u}$ є кватерніонною алгеброю над F і кожна кватерніонна алгебра одержується в такий спосіб.

Для елементів a + bu і c + du добуток є рівним ${\displaystyle (a+bu)(c+du)=(ac+bJ(d)\xi )+(ab+bJ(c))u.}$

Спряження на кватерніонній алгебрі є лінійним продовженням J на L і J(u) = -u.

• Класичні кватерніони є кватерніонною алгеброю над ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$. У цьому випадку (a = b = −1)
• Для спліт-кватерніонів (a = −1, b = +1). Для спліт-кватерніонів також ${\displaystyle k^{2}=+1}$ і ${\displaystyle jk=-i}$. Спліт-кватерніони є ізоморфними алгебрі квадратних дійсних матриць порядку 2.
• Звичайні кватерніони і спліт-кватерніони є єдиними прикладами кватерніонних алгебр над полем дійсних чисел. Всі інші є ізоморфними одній із цих алгебр.
• Алгебра квадратних матриць порядку 2 з елементами з поля F є кватерніонною алгеброю над полем F. Якщо F є скінченним полем,алгебрично замкнутим полем (наприклад ${\displaystyle F=\mathbb {C} }$) чи навіть сепарабельно замкнутим полем то ця алгебра є єдиною з точністю до ізоморфізму.

Всюди нижче F є полем характеристика якого не є рівною 2.

• Кватерніонні алгебри (a,b)_F і (b,a)_F є ізоморфними.
• Кватерніонна алгебра (a,b)_F є або алгеброю з діленням або ізоморфною алгебрі 2×2 матриць над F: у другому випадку кажуть, що алгебра розщеплюється.^[2]
• Кожна кватерніонна алгебра стає алгеброю матриць після розширення скалярів, тобто для деякого розширення K поля F, ${\displaystyle A\otimes _{F}K}$ є ізоморфною алгебрі квадратних матриць порядку 2 над K.
• Елемент q кватерніонної алгебри (a,b)_F є оборотним тоді і тільки, коли його норма не дорівнює нулю. Як наслідок кватерніонна алгебра є алгеброю з діленням якщо і тільки якщо її норма є рівною нулю лише для нульового елемента.
• Кватерніонна алгебра (a,b)_F розщеплюється якщо і тільки якщо b є рівним нормі деякого елемента у квадратичному розширенні ${\displaystyle F({\sqrt {a}})}$ поля F.
• Нехай A — деяка кватерніонна алгебра над полем F і ${\displaystyle a\in F.}$ Тоді A є ізоморфною кватерніонній алгебрі (a,b)_F для деякого ${\displaystyle b\in F}$ тоді і тільки тоді коли ${\displaystyle F({\sqrt {a}})}$-алгебра ${\displaystyle A\otimes _{F}F({\sqrt {a}})}$ розщеплюється і тоді і тільки тоді коли A містить підполе ізоморфне ${\displaystyle F({\sqrt {a}})}$.
• Нехай ${\displaystyle (a,b)_{F}\ }$ — кватерніонна алгебра. Тоді для ${\displaystyle K=F({\sqrt {a}})}$ алгебра ${\displaystyle A\otimes _{F}K}$ є ізоморфною ${\displaystyle M(2,K)}$ і для кожного такого ізоморфізму ${\displaystyle \phi }$ для норми виконується рівність ${\displaystyle N(q)=\det(\phi (q\otimes 1)).}$
• Коніка C(a,b) задана як

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}=z^{2}\ }$

має точку (x,y,z) з координатами у полі F для алгебр, що розщеплюються і тільки для них.^[3]

Кватерніонні алгебри застосовуються у теорії чисел, зокрема при вивченні квадратичних форм. Вони зокрема визначають елементи порядку 2 у групі Брауера поля F. Для деяких полів, наприклад алгебричних числових полів, кожен елемент порядку 2 у групі Брауера є класом еквівалентності кватерніонної алгебри.

Згідно теореми Меркур'єва кожен елемент порядку 2 у групі Брауера довільного поля є класом еквівалентності тензорного добутку кватерніонних алгебр.^[4].

Над полем дійсних чисел є два класи ізоморфізмів кватерніонних алгебр: 2×2 матриці з дійсними елементами і класичні кватерніони Гамільтона.

Над довільним локальним полем F теж є два класи ізоморфізмів кватерніонних алгебр: 2×2 матриці над F і однозначно визначена (з точністю до ізоморфізму) алгебри з діленням. Проте кватерніонна алгебра з діленням над локальним полем є зазвичай не алгебра (-1,-1)_F, як у випадку дійсних чисел. Наприклад для p-адичних чисел ${\displaystyle (-1,-1)_{\mathbb {Q} _{p}}}$ є алгебрj. з діленням лише у випадку p = 2.

Одним із способів класифікації кватерніонних алгебр над F є однозначна відповідність між класами еквівалентності кватерніонних алгебр над F і класами еквівалентності їх норм як квадратичних форм.

Кватерніонні алгебри над полем раціональних чисел мають арифметичну теорію схожу до квадратичних розширень ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Нехай ${\displaystyle B}$ — кватерніонна алгебра над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ і ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$ позначає поповнення ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ по p-адичній нормі (тобто p-адичні числа ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ для деякого простого числа p) або звичайній нормі (тобто дійсні числа ${\displaystyle Q_{\infty }=\mathbb {R} }$). Алгебра ${\displaystyle B_{\nu }:=\mathbb {Q} _{\nu }\otimes _{\mathbb {Q} }B}$ є кватерніонною алгеброю над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$.

Тоді ${\displaystyle B_{\nu }}$ може бути ізоморфною алгебрі квадратних матриць порядку 2 над ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$ або бути алгеброю з діленням.

Кажуть, що алгебра ${\displaystyle B}$ розщеплюється у ${\displaystyle \nu }$ якщо ${\displaystyle B_{\nu }}$ є ізоморфною алгебрі квадратних матриць порядку 2 над ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\nu }}$. В іншому випадку алгебра не розщеплюється у ${\displaystyle \nu }$. Наприклад, раціональні кватерніони (-1,-1)_Q не розщеплюються у 2 і ${\displaystyle \infty }$ і розщеплюються для всіх непарних простих чисел. Алгебра раціональних квадратних матриць порядку 2 розщеплюється для всіх ${\displaystyle \nu }$.

Кватерніонна алгебра над полем раціональних чисел яка розщеплюється у ${\displaystyle \infty }$ є аналогом дійсного квадратичного поля, а алгебра яка не розщеплюється у ${\displaystyle \infty }$ є аналогом уявного квадратичного поля.

Кількість ${\displaystyle \nu }$ де кватерніонна алгебра над полем раціональних чисел не розщеплюється є парним числом. До того ж ця множина визначає B з точністю до ізоморфізму. Добуток простих чисел по яких B розщеплюється називається дискримінантом B.

• Кватерніони
• Центральна проста алгебра

• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2017). Central simple algebras and Galois cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 165. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-15637-1.
• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander; Rost, Markus; Tignol, Jean-Pierre (1998). The book of involutions. Colloquium Publications. Т. 44. With a preface by J. Tits. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0904-0. MR 1632779. Zbl 0955.16001.
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. Т. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
• Vignéras, Marie-France (1980). Arithmetique Des Algebres De Quaternions. Lecture notes in Mathematics (French) . Т. 800. Springer-Verlag. ISBN 978-0387099835.