Конфігурація Мебіуса — Кантора Конфігура́ція Ме́біуса — Ка́нтора — конфігурація, що складається з восьми точок і восьми прямих, така, що на кожній прямій лежать по три точки і через кожну точку проходять по три прямих. Неможливо зобразити точки і прямі з цією моделлю інцидентності на евклідовій площині, однак можна зобразити на комплексній проєктивній площині. КоординатаМебіус[1] задав питання, чи існує пара багатокутників із p сторонами в кожному, що мають таку властивість, що кожна вершина одного багатокутника лежить на прямій, яка проходить через сторону іншого, і навпаки. Якщо така пара існує, вершини і сторони цих багатокутників мають утворювати проєктивну конфігурацію. Для p = 4 ця задача не має розв'язку на евклідовій площині, проте Кантор[2] знайшов пару багатокутників такого типу в узагальненому варіанті задачі, в якому вершини і ребра належать комплексній проєктивній площині. Таким чином, у розв'язку Кантора координатами вершин багатокутника є комплексні числа. Розв'язок Кантора для p = 4, пара взаємно вписаних чотирикутників на комплексній проєктивній площині, називають конфігурацією Мебіуса — Кантора.  Коксетер[3] запропонував такі прості однорідні координати для восьми точок конфігурації Мебіуса — Кантора:
Абстрактна модель інциденцій У загальнішому вигляді конфігурацію Мебіуса — Кантора можна описати як систему восьми точок і восьми трійок точок, у якій кожна точка входить рівно в три трійки. За додаткових умов (природних для точок і прямих), а саме, що ніяка пара точок не належить більш ніж двом трійкам і що ніякі дві трійки не мають у перетині більше двох точок, будь-які дві системи цього типу еквівалентні з точністю до перестановки точок. Таким чином, конфігурація Мебіуса — Кантора є єдиною проєктивною конфігурацією типу (8383). Граф Мебіуса — Кантора отримав своє ім'я від конфігурації Мебіуса — Кантора, оскільки він є графом Леві цієї конфігурації. Граф має одну вершину для кожної точки конфігурації і по вершині для кожної трійки, а ребра з'єднують дві вершини, якщо одна вершина відповідає точці, а інша — трійці, яка містить цю точку. Точки і прямі конфігурації Мебіуса — Кантора можна описати як матроїд, елементами якого є точки конфігурації, а нетривіальні бази — це прямі конфігурації. У цьому матроїді множина S точок є незалежною тоді й лише тоді, коли або |S| ≤ 2, або S складається з трьох неколінеарних точок. Даний матроїд отримав назву матроїда Маклейна, після того як Маклейн[ru] довів[4], що такий матроїд не може бути орієнтованим. Це один з небагатьох відомих мінорно-мінімальних[en] неорієнтованих матроїдів[5]. Споріднені конфігураціїРозв'язок задачі Мебіуса про взаємно вписані багатокутники для значень p більше чотирьох також становить інтерес. Зокрема, одинз можливих розв'язків для p = 5 — це конфігурація Дезарга з 10 точок і 10 прямих, що допускає реалізацію в евклідовому просторі. Конфігурація Мебіуса — це тривимірний аналог конфігурації Мебіуса — Кантора, що складається з двох взаємно вписаних тетраедрів. Конфігурацію Мебіуса — Кантора можна розширити, додавши чотири прямих через чотири пари точок, які до цього не були з'єднані прямими, і додавши дев'яту точку на перетині цих чотирьох прямих. Результатом буде конфігурація Гессе[en], яку, як і конфігурацію Мебіуса — Кантора, можна реалізувати в комплексних координатах, але не в дійсних[6]. Видалення будь-якої точки з конфігурації Гессе дає копію конфігурації Мебіуса — Кантора. Примітки
Література
Посилання
|
Portal di Ensiklopedia Dunia
