Критерій Андерсона — Дарлінга

Класичний непараметричний критерій узгодженості Андерсона — Дарлінга [1, 2] призначений для перевірки простих гіпотез про належність аналізованої вибірки повністю відомому закону (про узгодженість емпіричного розподілення ${\displaystyle F_{n}(x)}$ і теоретичного закону ${\displaystyle F(x,\theta )}$) , тобто для перевірки гіпотези вигляду ${\displaystyle H_{0}:F_{n}(x)=F(x,\theta )}$ з відомим вектором параметрів теоретичного закону.

В критерії ${\displaystyle \Omega ^{2}}$ Андерсона — Дарлінга [1, 2] використовується статистика виду:

${\displaystyle S_{\Omega }=-n-2\sum _{i=1}^{n}\left\{{\frac {2i-1}{2n}}\ln(F(x_{i},\theta ))+\left(1-{\frac {2i-1}{2n}}\right)\ln(1-F(x_{i},\theta ))\right\}}$,

де ${\displaystyle n}$ — об'єм вибірки, ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ — впорядковані за зростанням елементи вибірки.

При справедливості простої гіпотези, що перевіряється, статистика критерію підпорядковується розподіленню виду ${\displaystyle a2(S)}$ [2, 3, 4].

При перевірці простих гіпотез критерій є вільним від розподілу, тобто не залежить від виду закону, з яким перевіряється узгодженість.

Гіпотеза, яка перевіряється, відхиляється при великих значеннях статистики. Процентні точки розподілу ${\displaystyle a2(S)}$ наведені в [3, 4].

При перевірці складних гіпотез виду ${\displaystyle H_{0}:F_{n}(x)\in \left\{F(x,\theta ),\theta \in \Theta \right\}}$ , де оцінка ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ скалярного або векторного параметра розподілення ${\displaystyle F(x,\theta )}$ вираховується по тій же вибірці, непараметричні критерії узгодженості втрачають властивість свободи від розподілу [5, 4] (розподілом статистики при справедливості ${\displaystyle H_{0}}$ вже не буде розподіл ${\displaystyle a2(S)}$).

При перевірці складних гіпотез розподілення статистик непараметричних критеріїв узгодженості залежать від ряду факторів: від виду спостережуваного закону ${\displaystyle F(x,\theta )}$ , який відповідає справедливій гіпотезі ${\displaystyle H_{0}}$; від типу оцінюваного параметра і числа оцінюваних параметрів; в деяких випадках від конкретного значення параметра (наприклад, в разі сімейств гамма і бета-розподілів); від методу оцінювання параметрів. Відмінності в граничних розподілах тієї ж самої статистики при перевірці простих і складних гіпотез настільки істотні, що нехтувати цим ні в якому разі не можна.

• Критерій узгодженості Колмогорова
• Критерій узгодженості Пірсона
• Статистичний критерій

1. Anderson T. W., Darling D. A. Asymptotic theory of certain «goodness of fit» criteria based on stochastic processes // Ann. Math. Statist. — 1952. — V. 23. — P. 193—212.
2. Anderson T. W., Darling D. A. A test of goodness of fit // J. Amer. Stist. Assoc., 1954. — V. 29. — P. 765—769.
3. Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. — М.: Наука, 1983. — 416 с.
4. Р 50.1.037-2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II. Непараметрические критерии. [Архівовано 21 січня 2022 у Wayback Machine.] — М.: Изд-во стандартов, 2002. — 64 с.
5. Kac M., Kiefer J., Wolfowitz J. On Tests of Normality and Other Tests of Goodness of Fit Based on Distance Methods // Ann. Math. Stat. — 1955. — V. 26. — P. 189—211.

Про застосування критерію при перевірці складних гіпотез:

• Statistic Distribution Models for Some Nonparametric Goodness-of-Fit Tests in Testing Composite Hypotheses // Communications in Statistics — Theory and Methods, 2010. Vol. 39. — No. 3. — P. 460—471.
• Модели распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез с использованием оценок максимального правдоподобия. Ч. I [Архівовано 21 січня 2022 у Wayback Machine.] // Измерительная техника. — 2009. — № 6. — С. 3—11.
• Модели распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез с использованием оценок максимального правдоподобия. Ч. II [Архівовано 21 січня 2022 у Wayback Machine.] // Измерительная техника. — 2009. — № 8. — С. 17—26.

Про потужність критеріїв узгодженості:

• Сравнительный анализ мощности критериев согласия при близких конкурирующих гипотезах. I. Проверка простых гипотез [Архівовано 21 січня 2022 у Wayback Machine.] // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2008. — Т. 11. — № 2(34). — С. 96—111.
• Сравнительный анализ мощности критериев согласия при близких альтернативах. II. Проверка сложных гипотез [Архівовано 21 січня 2022 у Wayback Machine.] // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2008. — Т. 11. — № 4(36). — С. 78—93.
• Мощность критериев согласия при близких альтернативах [Архівовано 21 січня 2022 у Wayback Machine.] // Измерительная техника. — 2007. — № 2. — С. 22—27.