Кільце (геометрія)

Кільце (англ. annulus) у геометрії — ділянка на площині, обмежена двома концентричними колами.

Відкрите кільце — топологічний еквівалент до відкритого циліндра циліндра $S 1 \times (0,1)$ і до проколотої площини.

Площа кільця — різниця між площами двох кругів: більшого з радіусом $R$ і меншого з радіусом $r$ :

A=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi (R^{2}-r^{2})\,.

Площу кільця можна отримати з довжини найдовшого інтервалу, який повністю лежить всередині кільця, 2*d у супровідному домені. Це можна довести за допомогою теореми Піфагора; інтервал найбільшої довжини, що повністю лежить у кільці, буде дотичним до меншого кола й утворюватиме прямий кут із його радіусом у точці дотику. Отже, d і r є сторонами прямокутного трикутника з гіпотенузою R і площа задана як:

A=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)=\pi d^{2}\,.

Площу також можна отримати за допомогою обчислення, ділячи кільце на нескінченну кількість кілець нескінченно малої ширини $dρ$ і площі $2 πρ dρ$ , і тоді інтегрувати від ρ = r до ρ = R:

A=\int _{r}^{R}2\pi \rho \,d\rho =\pi \left(R^{2}-r^{2}\right).

Площа сектора кільця кута $θ$ , з $θ$ заданим у радіанах, задається:

A={\frac {\theta }{2}}\left(R^{2}-r^{2}\right)

Комплексна структура

У комплексному аналізі кільце $ann (a; r, R)$ на комплексній площині — це відкрита множина, визначена нерівністю:

r<|z-a|<R.\,

Якщо $r$ = $0$ , то така область відома як проколотий диск радіуса $R$ навколо точки $a$ .

Як підмножину комплексної площини, кільце можна розглядати як Ріманову поверхню. Комплексна структура кільця залежить лише від співвідношення $r / R$ . Кожне кільце $ann (a; r, R)$ можна голоморфно відобразити на стандартне кільце із центром у початку координат і зовнішнім радіусом $1$ за допомогою підстановки