Лемніската Бернуллі

	Лемніската Бернуллі
Названо на честь	Якоб Бернуллі
Формула	і
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
	Лемніската Бернуллі у Вікісховищі

Лемніската Бернуллі (грец. λημνίσκοζ — пов'язка) — плоска алгебрична крива, яку можна означити як геометричне місце точок $P$ , для кожної з яких добуток відстаней до двох заданих точок $F_{1}$ та $F_{2}$ (фокусів) незмінна і дорівнює квадрату половини відстані між фокусами.

Тобто, для кожної точки $P$ лемніскати виконується рівність:

PF_{1}\cdot PF_{2}=c^{2}

.

де $2c$ — відстань між фокусами $F_{1}F_{2}$ .

Назва походить з античного Риму, де «лемніскатою» називали бантик, з допомогою якого прикріпляли вінок до голови переможця на спортивних іграх. Цю лемніскату називають в честь швейцарського математика Якоба Бернуллі, який поклав початок її вивченню в 1694 році.

Лемніската Бернуллі — алгебрична крива 4 порядку. Є окремим випадком овалів Кассіні та синусоїдальних спіралей.

Рівняння

Нехай фокуси лемніскати Бернуллі знаходяться на осі $Ox$ в точках $F_{1}(-c;0)$ і $F_{2}(c;0)$ . Відстань між фокусами дорівнює $2c$ , а точка $O$ — початок координат ділить відрізок між фокусами навпіл. Тоді наступні рівняння задають лемніскату Бернуллі:

в прямокутних координатах в неявному виді:

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})

Вивід

Візьмемо довільну точку $M(x;y)$ . Добуток відстаней від фокусів до точки $M$ є

{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}

,

і за означенням вона дорівнює $c^{2}$ :

{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=c^{2}

Піднесемо в квадрат дві частини рівності:

\textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(x-c)^{2}+y^{2}{\Big )}=c^{4}

Розкриємо дужки в лівій частині:

\textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=c^{4}

Розкриємо дужки і згорнемо новий квадрат суми

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}c^{2}+2y^{2}c^{2}=0

Винесемо спільний множник і перенесемо:

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})

Далі можна зробити заміну $a^{2}=2c^{2}$ :

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})

Зробивши нескладні перетворення, можна отримати рівняння у явному вигляді:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {c^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

Вивід

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})

Піднесемо в квадрат і розкриємо дужки:

\textstyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}=2c^{2}x^{2}-2c^{2}y^{2}

Приведемо до вигляду

\textstyle y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{2}x^{2}=0

Це квадратне рівняння відносно $y^{2}$ . Розв'язавши його, отримаємо

\textstyle y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {c^{4}+2x^{2}c^{2}}}

Добувши корінь і відкинувши варіант з від'ємною другою змінною, отримаємо:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {c^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

де додатній варіант визначає верхню половину лемніскати, від'ємний — нижню.

в полярних координатах:

\textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi .

Крива визначена при $\varphi \in \left[0,{\frac {\pi }{4}}\right]\cup \left[{\frac {3\pi }{4}},{\frac {5\pi }{4}}\right]\cup \left[{\frac {7\pi }{4}},2\pi \right]$ ;

або ж при $\varphi \in \left[-{\frac {\pi }{4}},{\frac {\pi }{4}}\right]\cup \left[{\frac {3\pi }{4}},{\frac {5\pi }{4}}\right]$

Вивід

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})

Використовуючи формули переходу до полярної системи координат $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$ отримаємо:

{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}^{2}=2c^{2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}

Винесемо спільні множники і використаємо тригонометричну тотожність $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$ :

\textstyle \rho ^{4}=2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )

Використаємо ще одну тотожність: $\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha$ :

\textstyle \rho ^{4}=2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi

Поділимо на $\rho ^{2}$ , вважаючи, що $\rho \neq 0$ :

\textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi

Як і в випадку прямокутної системи можна замінити $a^{2}=2c^{2}$ :

\textstyle \rho ^{2}=a^{2}\cos 2\varphi

Параметричне рівняння в прямокутній декартовій системі координат:

{\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}{\frac {p+p^{3}}{1+p^{4}}}\\y=c{\sqrt {2}}{\frac {p-p^{3}}{1+p^{4}}}\end{cases}}

, де

p^{2}=\operatorname {tg} {\Big (}{\frac {\pi }{4}}-\varphi {\Big )}

Щоб задати лемніскату по двох довільних точках, можна не виводити рівняння заново, а визначити перетворення координат, при якому старий (даний) фокусний відрізок переходить в новий, і подіяти на представлені рівняння цим перетворенням.

Приклад

Нехай, наприклад, $F_{1}(-1;2),\,F_{2}(2;-2)$ — фокуси.

Існує прямокутна система координат (на рисунку — $\textstyle x''Oy''$ ), в якій рівняння лемніскати має вигляд

\textstyle {\Big (}(x'')^{2}+(y'')^{2}{\Big )}^{2}-2c^{2}{\Big (}(x'')^{2}-(y'')^{2}{\Big )}=0

Необхідно визначити перетворення системи координат, що переводить $\textstyle xOy$ в $\textstyle x''Oy''$ . Це перетворення здійснюється в два етапи: паралельне перенесення і поворот.

Середина відрізка $F_{1}F_{2}$ — $\textstyle F\left({\frac {1}{2}};0\right)$ , значить паралельний перенос тільки на $\textstyle +{\frac {1}{2}}$ по осі $OX$ :

{\begin{cases}x'=x-x_{0}\\y'=y-y_{0}\end{cases}}={\begin{cases}x'=x-{\frac {1}{2}}\\y'=y\end{cases}}

Після переносу системи координат її потрібно повернути на деякий кут. Для визначення кута спочатку знайдемо відстань між фокусами:

2c=|F_{1}F_{2}|={\sqrt {(2+1)^{2}+(-2-2)^{2}}}=5

значить $c={\frac {5}{2}},\,2c^{2}={\frac {25}{2}}$ .

Тепер із геометричних міркувань знайдемо синус і косинус кута нахилу $F_{1}F_{2}$ до осі $OX$ :

\sin \alpha ={\frac {-2-2}{5}}=-{\frac {4}{5}},\,\,(\alpha \approx -53^{\circ })

\cos \alpha ={\frac {2-(-1)}{5}}={\frac {3}{5}}

Формули перетворення:

{\begin{cases}x''=x'\cos \alpha +y'\sin \alpha \\y''=-x'\sin \alpha +y'\cos \alpha \end{cases}}={\begin{cases}x''={\frac {3}{5}}x'-{\frac {4}{5}}y'\\y''={\frac {4}{5}}x'+{\frac {3}{5}}y'\end{cases}}

Поєднавши обидва перетворення, отримаємо скінченні формули переходу:

{\begin{cases}x''={\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y\\y''={\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y\end{cases}}

Для того, щоб отримати рівняння в стандартній системі координат, підставимо ці співвідношення в вихідне рівняння кривої:

\textstyle {\bigg (}{\Big (}{\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y{\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y{\Big )}^{2}{\bigg )}^{2}-2c^{2}{\bigg (}{\Big (}{\frac {3}{5}}(x-{\frac {1}{2}})-{\frac {4}{5}}y{\Big )}^{2}-{\Big (}{\frac {4}{5}}(x-{\frac {1}{2}})+{\frac {3}{5}}y{\Big )}^{2}{\bigg )}=0

Після перетворень:

x^{4}+y^{4}+24xy-2xy^{2}+2x^{2}y^{2}-2x^{3}+5x^{2}-4x-3y^{2}-12y+{\frac {15}{16}}=0

Це рівняння задає лемніскату з фокусами

F_{1}(-1;2),\,F_{2}(2;-2)

в стандартній прямокутній системі координат.

Рівняння Чезаро^[en] для лемніскати Бернуллі має вигляд:^[1] ^{: стор.156} ^[2] ^{:стор.819}

\ell =3\cdot \int {\frac {dR}{\sqrt {\left({\frac {3}{c}}\cdot R\right)^{4}-1}}}

де
$\rho$ — радіус кривини лемніскати Бернуллі в певній точці;
$\ell$ — довжина дуги лемніскати від її початку до цієї точки.

Властивості та особливості форми

Для довільної точки $P$ лемніскати Бернуллі з фокусами $F_{1}$ та $F_{2}$ справедливе наступне твердження (альтернативне означення лемніскати):

{\rm {|PF_{1}-PF_{2}|=OP\,{\sqrt {2}}.}}

де $O$ — середина відрізка $F_{1}F_{2}$ .

Доведення

${\begin{aligned}{\rm {(PF_{1}-PF_{2})^{2}}}&={\rm {PF_{1}^{2}+PF_{2}^{2}-2\,PF_{1}\cdot PF_{2}}}\\&={\rm {(OP^{2}+OF_{1}^{2}-2\,OP\cdot OF_{1}\cos \theta )+(OP^{2}+OF_{2}^{2}+2\,OP\cdot OF_{2}\cos \theta )-2\,PF_{1}\cdot PF_{2}}}\\&={\rm {2(OP^{2}+OF_{1}^{2}-PF_{1}\cdot PF_{2})}}\end{aligned}}$

Отже :

PF_{1}\cdot PF_{2}=OF_{1}^{2}\Leftrightarrow (PF_{1}-PF_{2})^{2}=2\,OP^{2}

Лемніската — алгебрична крива четвертого порядку.
Вона має дві осі симетрії: пряма, на якій лежить $F_{1}F_{2}$ , і серединний перпендикуляр цього відрізка; для розглянутого випадку — вісь $Oy$ .
Точка, де лемніската перетинає саму себе, називається вузловою чи подвійною точкою.

Для розглянутого випадку подвійною точкою лемніскати є початок координат.

Дотичні в подвійній точці лемніскати — прямі $y=\pm x$ , складають з відрізком $F_{1}F_{2}$ кути $\textstyle \pm {\frac {\pi }{4}}$ і є взаємно перпендикулярними. ^[1] ^{: стор.155}
Кут $\mu$ між дотичною до лемніскати в її довільній точці радіус-вектором точки дотику дорівнює: ^[1] ^{: стор.156}

\mu =2\varphi +{\frac {\pi }{2}}

.

Дотичні до лемніскати, які проведені на кінцях хорди, що проходить через її подвійну точку, паралельні між собою.
Кут між перпендикуляром, проведеним до дотичної із початку координат, та полярною віссю втричі більший за полярний кут $\varphi$ точки дотику. Таким чином, лемніскату можна використовувати для трисекції кута.^[1] ^{: стор.156}

Лемніската Бернуллі перетинає вісь $Ox$ в точках

$A(c\cdot {\sqrt {2}};0)$ та $B(-c\cdot {\sqrt {2}};0)$ .

Крива має 2 максимуми і 2 мінімуми. Їх координати:
${\begin{cases}x=\pm {\frac {\sqrt {3}}{2}}c\\y=\pm {\frac {c}{2}}\end{cases}}$
Відстань від максимуму до мінімуму, що знаходяться по одну сторону від серединного перпендикуляра (осі $Oy$ в даному випадку) дорівнює відстані від максимуму (чи від мінімуму) до подвійної точки.

Інверсія лемніскати $\textstyle \rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi .$ з центром в подвійній точці, переводить леминіскату Бернуллі в синусоїдальну спіраль $\textstyle \rho ^{-2}=2c^{2}\cos 2\varphi .$ , тобто в рівнобічну гіперболу.^[1] ^{: стор.157}
Подерою лемніскати Бернуллі є cинусоїдальна спіраль

$\textstyle \rho ^{\frac {2}{3}}=({\sqrt {2}}c)^{\frac {2}{3}}\cos \left({\frac {2}{3}}\varphi \right)$

Лемніската в свою чергу є подерою рівнобічної гіперболи.

Лемніската є геометричним місцем точок, що симетричні з центром рівнобічної гіперболи, по відношенню до її дотичних. ^[1] ^{: стор.157}
Кінематично лемніскату можна отримати як траекторію середини великої ланки шарнірного антипаралелограма, протилежна ланка якого нерухомо закріплена.^[1] ^{: стор.158}
Відрізок бісектриси кута між фокальними радіусами-векторами точки лемніскати дорівнює відрізку від центру лемніскати до перетину її осі з цією бісектрисою. ^[1] ^{: стор.158}
Геометричне місце проєкцій центрів кривини лемніскати на відповідні радіуси-вектори є також лемніската, рівняння якої:

\textstyle \rho ^{2}={\frac {4}{9}}c^{2}\cos 2\varphi .

Метричні характеристики

Нехай лемніската Бернуллі задана рівнянням в полярній сисемі координат: $\rho ^{2}=2c^{2}\cos 2\varphi$ . Тоді:

Довжина дуги лемніскати між точками, що відповідають полярним кутам $0\leq \varphi \leq \varphi _{1}$ :

\ell =c\cdot \int _{0}^{\varphi _{1}}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-2\sin ^{2}\varphi }}}

Виконавши заміну $2\sin ^{2}\varphi =\sin ^{2}\theta$ , приводимо інтеграл до виду:

\ell ={\frac {c}{\sqrt {2}}}\cdot \int _{0}^{\theta _{1}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {c}{\sqrt {2}}}\cdot F\left({\frac {1}{\sqrt {2}}},\theta \right)

де $F\left(k,\theta \right)$ — неповний еліптичний інтеграл 1-го роду.

Довжина всієї лемніскати Бернуллі:

\ell =4\cdot {\frac {c}{\sqrt {2}}}\cdot \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\theta }}}=4\cdot {\frac {c}{\sqrt {2}}}\cdot K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)

де $K\left(k\right)$ — повний еліптичний інтеграл 1-го роду.

Площа полярного сектора, що відповідає кутам $\varphi \in [0,\varphi ]$ , при $\textstyle 0\leq \varphi \leq {\frac {\pi }{4}}$ : ^[1] ^{: стор.159}
$S(\varphi )={\frac {c^{2}}{2}}\cdot \sin(2\varphi )$ .

Перпендикуляр, проведений із фокуса лемніскати на радіус-вектор будь-якої її точки, ділить площу відповідного сектора навпіл.^[1] ^{: стор.159}

Площа кожної петлі: $2\cdot S\left({\frac {\pi }{4}}\right)=c^{2}$ .

Тобто, площа, обмежена всією лемніскатою Бернуллі дорівнює площі квадрата зі стороною $c{\sqrt {2}}$ .^[1] ^{: стор.159}

- Радіус кривини лемніскати Бернуллі в довільній її точці можна обчислити за формулою:

\textstyle R={\frac {2c^{2}}{3\rho }}={\frac {\rho }{3\cos 2\varphi }}={\frac {N}{3}}

.

де $\rho$ — радіус-вектор цієї точки. $N$ — довжина полярної нормалі.

Тобто радіус кривини в довільній точці лемніскати втричі менший за довжину полярної нормалі в цій точці.^[1] ^{: стор.156}

Вивід

Рівняння лемніскати в полярній системі:

\rho ^{2}=2c^{2}\cos {2\varphi }

Формули переходу до полярної системи координат:

{\begin{cases}x=\rho \cos {\varphi }\\y=\rho \sin {\varphi }\end{cases}}

Виразимо $\textstyle \rho$ :

{\begin{cases}\rho ={\frac {x}{\cos {\varphi }}}\\\rho ={\frac {y}{\sin {\varphi }}}\end{cases}}

Підставимо в рівняння лемніскати і виразимо $x$ і $y$ :

{\begin{cases}{\frac {x^{2}}{cos^{2}{\varphi }}}=2c^{2}\cos {2\varphi }\\{\frac {y^{2}}{sin^{2}{\varphi }}}=2c^{2}\cos {2\varphi }\end{cases}}={\begin{cases}x=c{\sqrt {2}}\cos {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}\\y=c{\sqrt {2}}\sin {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}\end{cases}}

— це параметричне рівняння відносно $\varphi$ . Проводячи деякі тригонометричні перетворення, можна отримати рівняння відносно $\textstyle p$ Формула радіуса кривизни кривої, заданої параметрично:

R={\frac {{\Big (}(x')^{2}+(y')^{2}{\Big )}^{3/2}}{|x'y''-x''y'|}}

Знайдемо похідні по $\varphi$ :

x'=c{\sqrt {2}}\left(-\sin {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}-\cos {\varphi }{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\right)=-c{\sqrt {2}}{\frac {\sin {3\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}

x''=-c{\sqrt {2}}{\frac {3\cos {3\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}+{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\sin {3\varphi }}{\cos {2\varphi }}}=\ldots =-c{\sqrt {2}}{\frac {2\cos {\varphi }+\cos {5\varphi }}{(\cos {2\varphi })^{3/2}}}

y'=c{\sqrt {2}}\left(-\cos {\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}-\sin {\varphi }{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\right)=c{\sqrt {2}}{\frac {\cos {3\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}

y''=c{\sqrt {2}}{\frac {-3\sin {3\varphi }{\sqrt {\cos {2\varphi }}}+{\frac {\sin {2\varphi }}{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}\cos {3\varphi }}{\cos {2\varphi }}}=\ldots =-c{\sqrt {2}}{\frac {2\sin {\varphi }+\sin {5\varphi }}{(\cos {2\varphi })^{3/2}}}

Підставимо в формулу радіуса:

R=\ldots ={\frac {\left({\frac {2c^{2}}{cos{2\varphi }}}\right)^{3/2}}{\frac {6c^{2}}{\cos {2\varphi }}}}={\frac {c{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\cos {2\varphi }}}}}

Повернемося до рівняння лемніскати:

\rho ^{2}=2c^{2}\cos {2\varphi }\,\,\Rightarrow \,\,{\sqrt {\cos {2\varphi }}}={\frac {\rho }{c{\sqrt {2}}}}

Підставимо цей вираз в отриману формулу радіуса і отримаємо:

R={\frac {2c^{2}}{3\rho }}

Побудова

З допомогою трьох відрізків

Це один із найпростіших і найшвидших способів, однак потребує наявності додаткових пристосувань.

На площині вибираються дві точки — $A$ і $B$ — майбутні фокуси лемніскати. Складається спеціальна конструкція із трьох відрізків, скріплених в одну лінію так, щоб отримана лінія могла вільно вигинатися в двох місцях (точки вигину — $C$ та $D$ ). При цьому необхідно зберігати пропорції відрізків: $\textstyle AC=BD={\frac {AB}{\sqrt {2}}},\;CD=AB$ . Кінці лінії закріплюються до фокусів. При непараллельному повертанні відрізків навколо фокусів середина центрального відрізка описуватиме лемніскату Бернуллі.

За допомогою січних (спосіб Маклорена)

Будується коло радіуса $\textstyle {\frac {c}{\sqrt {2}}}$ з центром в одному із фокусів. Із середини $O$ фокусного відрізка будується довільна січна $OPS$ ( $P$ i $S$ — точки перетину з колом), і на ній в обидві сторони відкладаються відрізки $OM_{1}$ і $OM_{2}$ , рівні хорді $PS$ . Точки $M_{1}$ , $M_{2}$ лежать на різних петлях лемніскати.

Застосування

Лемніската використовується як перехідна лінія на заокругленнях малого радіуса на залізничних коліях в гірничій місцевості, а також трамвайних коліях.
Еквіпотегційні лінії поля, яке створюється двома паралельними токами, що протікають вздовж нескінченно довгих провідників, в площині, яка перпендикулярна до них, в окремих випадках є лемніскатами.
Як довів Бонаті, Лемніската є кривою, що володіє тією властивістю, що матеріальна точка великої ваги, виходячи із стану спокою, під дією сили тяжіння переміщається по дузі лемніскати за той самий час, що і по відповідній хорді. При цьому, центр лемніскати збігається з початковим положенням рухомої точки, а її вісь нахилена щодо вертикалі під кутом 45°.^[1] ^{: стор.161-162}

Див. також

Примітки

↑ ^а ^б ^в ^г ^д ^е ^ж ^и ^к ^л ^м ^н ^п Савелов А.А., 1960.
↑ Выгодский М.Я., 1973.

Література

Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
Gutenmacher Victor; Vasilyev N. B. (1980). Straight Lines and Curves. Moskou: Mir Publishers. с. 240.
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — изд.10. — москва : Наука, 1973.

Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применение (справочное руководство). — москва : изд. физико-математической литературы, 1960.

Robert C. Yates (1947). A Handbook on Curves and their Properties. digital reprint by www.CircuitousRoot.com. с. 198.

Lockwood E. H. (Edward Harrington) (1961). A Book of Curves. Cambridge, Eng. : University Press. с. 198. ISBN 9780511569340.

Посилання

Weisstein, Eric W. Lemniscate(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Lemniscate в архіві MacTutor (англ.)
Robert FERRÉOL, LEMNISCATE OF BERNOULLI на сайті [1], 2017
Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Bernoulli_lemniscate, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 *Fagnano e gli archi di lemniscata (Фаньяно та довжина дуги лемніскати) (італ.)