Мажорування векторів

Ця стаття не містить посилань на джерела. Ви можете допомогти поліпшити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (лютий 2024)

Мажорування — відношенням між двома векторами дійсних чисел в математиці.

Нехай є два вектори ${\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}$ та ${\displaystyle Y=\{y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}\}}$, де ${\displaystyle x_{1}\geqslant x_{2}\geqslant \ldots \geqslant x_{n}}$, ${\displaystyle y_{1}\geqslant y_{2}\geqslant \ldots \geqslant y_{n}}$ і ${\displaystyle \mathbf {X} ,\ \mathbf {Y} \in \mathbb {R} ^{n}}$

Тоді якщо

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}x_{i}\geq \sum _{i=1}^{k}y_{i}}$ для всіх ${\displaystyle k=1,\,\dots ,\,n-1}$ і ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}}$

говорять, що вектор ${\displaystyle \mathbf {X} }$ мажорує вектор ${\displaystyle \mathbf {Y} }$.

Тобто, виконується n—1 нерівність та одна рівність:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&\geq y_{1}\\x_{1}+x_{2}&\geq y_{1}+y_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}&\geq y_{1}+y_{2}+y_{3}\\&\,\,\,\vdots \\x_{1}+\cdots +x_{n-1}&\geq y_{1}+\cdots +y_{n-1}\\x_{1}+\cdots +x_{n}&=y_{1}+\cdots +y_{n}\end{aligned}}}$

Якщо останню умову змінити на нерівність ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\geq \sum _{i=1}^{n}y_{i}}$, то кажуть, що вектор ${\displaystyle \mathbf {X} }$ слабко мажорує вектор ${\displaystyle \mathbf {Y} }$.

• Нерівність Мюрхеда
• Піфагорові середні