Матриця мас

В аналітичній механіці матриця мас — симетрична матриця M, яка виражає зв'язок між похідною за часом ${\displaystyle {\dot {q}}}$ вектора узагальнених координат ${\displaystyle q}$ системи та кінетичною енергією ${\displaystyle T}$ цієї системи за рівнянням

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\mathbf {\dot {q}} ^{\textsf {T}}\mathbf {M} \mathbf {\dot {q}} }$

де ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} ^{\textsf {T}}}$ позначає транспонування вектора ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} }$^[1]. Це рівняння аналогічне формулі для кінетичної енергії частинки з масою ${\displaystyle m}$ і швидкістю ${\displaystyle v}$, а саме

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\frac {1}{2}}\mathbf {v} \cdot m\mathbf {v} }$

і може бути отримане з неї, якщо виразити положення кожної частинки системи через q.

У загальному випадку матриця мас М залежить від стану q і тому змінюється з часом.

Лагранжева механіка дає звичайне диференціальне рівняння (фактично, систему пов'язаних диференціальних рівнянь), яке описує еволюцію системи в термінах довільного вектора узагальнених координат, який повністю визначає положення кожної частинки в системі. Наведена вище формула кінетичної енергії є одним із членів цього рівняння, яке представляє загальну кінетичну енергію всіх частинок.

Наприклад, розглянемо систему, що складається із двох точкових мас, обмежених прямою лінією. Стан цих систем можна описати вектором двох узагальнених координат, а саме положеннями двох частинок уздовж лінії.

${\displaystyle q={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$,

Припустимо, що частинки мають маси ${\displaystyle m_{1}}$, ${\displaystyle m_{2}}$, кінетична енергія системи

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {x_{i}}}^{2}}$

Цю формулу також можна записати як

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\dot {q}}^{\textsf {T}}M{\dot {q}}}$

де

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}}$

У загальнішому випадку розглянемо систему ${\displaystyle N}$ частинок, позначених індексами i = 1, 2, …, N, де положення частинки з номером ${\displaystyle i}$ визначається ${\displaystyle n_{i}}$ вільними декартовими координатами (де ${\displaystyle n_{i}}$ дорівнює 1, 2 або 3). Нехай ${\displaystyle q}$ — вектор стовпця, що містить усі ці координати. Матриця мас ${\displaystyle M}$ являє собою діагональну блокову матрицю, де в кожному блоці діагональні елементи це маси відповідних частинок:^[2]

${\displaystyle M=\operatorname {diag} \left[m_{1}I_{n_{1}},\,m_{2}I_{n_{2}},\,\ldots ,\,m_{N}I_{n_{N}}\right]}$

де ${\displaystyle I_{n_{i}}}$ — одинична матриця ${\displaystyle n_{i}\times n_{i}}$ або повніше:

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}m_{1}&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &m_{1}&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\0&\cdots &0&m_{2}&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &m_{2}&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &m_{N}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &m_{N}\\\end{bmatrix}}}$

Як менш тривіальний приклад розглянемо два точкові об'єкти з масами ${\displaystyle m_{1}}$, ${\displaystyle m_{2}}$, прикріплених до кінців жорсткого безмасового стрижня довжиною ${\displaystyle 2R}$, причому вузол може вільно обертатися і ковзати по фіксованій площині. Стан системи можна описати узагальненим координатним вектором

${\displaystyle q={\begin{bmatrix}x&y&\alpha \end{bmatrix}}}$

де ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ — декартові координати середньої точки стрижня і ${\displaystyle \alpha }$ — кут між стрижнем і деяким довільним опорним напрямком. Положення та швидкості двох частинок

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=(x,y)+R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{1}&=\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)+R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\\x_{2}&=(x,y)-R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{2}&=\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)-R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\end{aligned}}}$

та їх загальна кінетична енергія

${\displaystyle 2T=m{\dot {x}}^{2}+m{\dot {y}}^{2}+mR^{2}{\dot {\alpha }}^{2}-2Rd\sin(\alpha ){\dot {x}}{\dot {\alpha }}+2Rd\cos(\alpha ){\dot {y}}{\dot {\alpha }}}$

де ${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}}$ і ${\displaystyle d=m_{1}-m_{2}}$. Цю формулу можна записати у вигляді матриці

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\dot {q}}^{\textsf {T}}M{\dot {q}}}$

де

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}m&0&-Rd\sin \alpha \\0&m&Rd\cos \alpha \\-Rd\sin \alpha &Rd\cos \alpha &R^{2}m\end{bmatrix}}}$

Зауважте, що матриця залежить від поточного кута ${\displaystyle \alpha }$ стрижня.

Для дискретних наближень механіки суцільних середовищ, як у методі скінченних елементів може бути кілька способів побудови матриці мас, залежно від необхідної продуктивності обчислень і точності. Наприклад, метод із зосередженими масами, де деформація кожного елемента нехтується, створює діагональну матрицю мас і усуває необхідність інтегрувати масу за деформованим елементом.

• Момент інерції
• Тензор енергії-імпульсу
• Склерономність^[en]