Область Прюфера

У комутативній алгебрі, областями Прюфера називається тип комутативних кілець які узагальнюють поняття кільця Дедекінда на випадок кілець, що не обов'язково є нетеровими. Ці кільця мають багато властивостей кілець Дедекінда але зазвичай лише для скінченнопороджених модулів. Названі на честь німецького математика Гайнца Прюфера.

Для областей Прюфера існує досить багато еквівалентних означень.

Через ідеали кільця

• Кожен ненульовий скінченнопороджений ідеал I у кільці R є оборотним: тобто ${\displaystyle \ I\cdot I^{-1}=R}$, де ${\displaystyle I^{-1}=\{r\in q(R):rI\subseteq R\}}$ і ${\displaystyle \ q(R)}$ є поле часток R. Еквівалентно, кожен ненульовий ідеал породжений двома елементами є оборотним.
• Для всіх (скінченнопороджених) ненульових ідеалів I, J, K R, виконується рівність:

${\displaystyle I\cap (J+K)=(I\cap J)+(I\cap K).}$

• Для всіх (скінченнопороджених) ідеалів I, J, K R, виконується рівність:

${\displaystyle I(J\cap K)=IJ\cap IK.}$

• Для всіх (скінченнопороджених) ненульових ідеалів I, J R виконується властивість:

${\displaystyle (I+J)(I\cap J)=IJ.}$

• Для всіх скінченнопороджених ідеалів I, J, K R, якщо IJ = IK тоді J = K або I = 0.

За допомогою локалізацій

• Для кожного простого ідеалу P кільця R, локалізація R_P є кільцем нормування.
• Для кожного максимального ідеалу m у R, локалізація R_m є кільцем нормування.
• R є цілозамкнутим і кожне кільце, що містить R і є підкільцем поля часток R є перетином локалізацій кільця R

За допомогою поняття плоскості модуля

• Кожен R-модуль без кручень є плоским.
• Кожен ідеал кільця R є плоским
• Кожне кільце, що містить R і є підкільцем поля часток R є R-плоским модулем
• Кожен підмодуль плоского R-модуля є плоским.
• Якщо M і N є R-модулями без кручень тоді їх тензорний добуток M ⊗_R N є модулем без кручень.
• Якщо I і J є ідеалами у R тоді I ⊗_R J є модулем без кручень.
• Підмодуль кручень кожного скінченнопороджений модуль є прямим доданком, (Kaplansky, 1960).

За допомогою поняття цілого замикання

• Кожне кільце, що містить R і є підкільцем поле часток R є цілозамкнутим
• R є цілозамкнутим кільцем і є деяке ціле число n, таке що для всіх елементів a, b кільця R виконується рівність (a,b)ⁿ = (aⁿ,bⁿ).
• R є цілозамкнуте і кожен елемент поля часток K кільця R є коренем многочлена у R[x] коефіцієнти якого породжують R як R-модуль, (Gilmer та Hoffmann, 1975, с. 81).

• Комутативне кільце є кільце Дедекінда якщо і тільки якщо воно є областю Прюфера і кільцем Нетер.
• Хоча області Прюфера можуть не бути нетеровими, вони завжди є когерентними кільцями, оскільки скінченнопороджені проективні модулі є скінченно пов'язаними.
• Хоча ідеали кільця Дедекінда породжуються двома елементами, для кожного додатного цілого числа n, існує область Прюфера скінченнопороджені ідеали якої породжуються не менше, ніж n елементами, (Swan, 1984). Проте скінченнопороджені максимальні ідеали області Прюфера породжуються двома елементами, (Fontana, Huckaba та Papick, 1997, с. 31).
• Якщо R є областю Прюфера, і K є її поле часток, тоді будь-яке кільце S для якого R ⊆ S ⊆ K є областю Прюфера.
• Якщо R є область Прюфера, K є її поле часток, і L є алгебричним розширенням поля K, тоді ціле замикання R у L є областю Прюфера, (Fuchs та Salce, 2001, с. 93).
• Скінченнопороджений модуль M над областю Прюфера є проективним якщо і тільки якщо він є модулем без кручень. Ця властивість характеризує області Прюфера.
• Теорема Гілмера — Гофмана. Нехай R є областю цілісності, K її полем часток, і S — цілим замиканням R у K. Тоді S є областю Прюфера якщо і тільки якщо кожен елемент K є коренем многочлена у R[X] хоч один із коефіцієнтів якого є оборотним елементом у R, (Gilmer та Hoffmann, 1975, Theorem 2).
• Область цілісності є область Прюфера якщо і тільки якщо підмодуль кручення є прямим доданком у випадку коли він є скінченнопородженим, (Kaplansky, 1960).

• Кільце цілих функцій на множині комплексних чисел утворюють область Прюфера.
• Кільце многочленів із раціональними коефіцієнтами, значення яких на множині цілих чисел теж є цілими числами є областю Прюфера, на відміну від кільця Z[X]. (Narkiewicz, 1995, с. 56).
• Тоді як кожне кільце цілих чисел є кільцем Дедекінда, їх об'єднання, кільце цілих алгебричних чисел є областю Прюфера.

Кільцем Прюфера називається комутативне кільце у якому кожен ненульовий скінченнопороджений ідеал усі елементи якого не є дільниками нуля є оборотним (тобто, проективним).

• Кільце Дедекінда
• Кільце нормування

• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — Москва : Мир, 1971. — С. 707. — (Елементи математики)(рос.)
• Fontana, Marco; Huckaba, James A.; Papick, Ira J. (1997), Prüfer domains, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, т. 203, New York: Marcel Dekker Inc., ISBN 978-0-8247-9816-1, MR 1413297
• Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Modules over non-Noetherian domains, Mathematical Surveys and Monographs, т. 84, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1963-0, MR 1794715
• Gilmer, Robert (1972), Multiplicative ideal theory, New York: Marcel Dekker Inc., MR 0427289
• Gilmer, Robert; Hoffmann, Joseph F. (1975), A characterization of Prüfer domains in terms of polynomials, Pacific J. Math., 60 (1): 81—85, doi:10.2140/pjm.1975.60.81, ISSN 0030-8730, MR 0412175.

• Kaplansky, Irving (1960), A characterization of Prufer rings, J. Indian Math. Soc. (N.S.), 24: 279—281, MR 0125137
• Knight, J. T. (1971), Commutative Algebra, London Mathematical Society Lecture Note Series, т. 5, Cambridge University Press, ISBN 0-521-08193-9
• Narkiewicz, Władysław (1995), Polynomial mappings, Lecture Notes in Mathematics, т. 1600, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-59435-2, Zbl 0829.11002
• Swan, Richard G. (1984), n-generator ideals in Prüfer domains, Pacific Journal of Mathematics, 111 (2): 433—446, doi:10.2140/pjm.1984.111.433, ISSN 0030-8730, MR 0734865