Кільце нормування

У комутативній алгебрі кільцем нормування називається область цілісності, що задовольняє деяким додатковим вимогам. Кільця нормування є пов'язаними з поняттям нормування на полі. Мають широке застосування в алгебраїчній теорії чисел і алгебраїчній геометрії.

Нехай R є областю цілісності з полем часток K. Тоді R називається кільцем нормування, якщо воно задовольняє будь-яку із еквівалентних умов:

1. Для довільного ненульового елемента ${\displaystyle x\in K}$, хоча б один з елементів x і x^-1 належить R.
2. Множина ідеалів R є цілком впорядкованою відносно включення підмножин.
3. Множина головних ідеалів R є цілком впорядкованою відносно включення підмножин.
4. Існує цілком впорядкована абелева група Γ (що називається групою нормування) і сюр'єктивний гомоморфізм груп (що називається нормуванням поля) ν:K^× → Γ для якого R = { x в K^× : ν(x) ≥ 0 } ∪ {0}.

Кільця нормування можна визначити ще одним способом. Локальне кільце ${\displaystyle (S,{\mathfrak {m}}_{S})}$ домінує над ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}}_{R})}$ якщо ${\displaystyle S\supset R}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{S}\cap R={\mathfrak {m}}_{R}}$. Відношення домінування є відношенням часткового порядку на множині підкілець поля K. Максимальні елементи цієї множини і тільки вони є кільцями нормування поля K.

Будь-яке кільце нормування R задає нормування на своєму полі часток K. При використанні першого означення нормування на полі часток можна задати так: нехай ${\displaystyle G=K^{*}/R^{*}}$. Позначимо природне вкладення K^× в G як ${\displaystyle v(a)=a/1,\;a\in K^{*}}$. Для елементів G визначимо відношення порядку: ${\displaystyle aR^{*}\leqslant bR^{*}\Longleftrightarrow a^{-1}b\in R.}$ Тоді R стає лінійно впорядкованою групою. Додавши до неї нескінченний елемент, що більший від усіх інших елементів і довизначивши ${\displaystyle v(0)=\infty ,}$ отримаємо, що ν і є необхідним нормуванням.

• Кільце нормування R є локальним кільцем.
• Якщо R — кільце нормування, a ${\displaystyle A\supset R}$ — кільце з тим же полем часток, що і R, то A також є кільцем нормування і A є локалізацією кільця R за деяким простим ідеалом.
• Кільце нормування R є цілозамкнутим. Більш того, для довільного цілісного кільця A його ціле замикання дорівнює перетину всіх кілець нормування в його полі часток, що містять R.
• Кільце нормування є нетерівським тоді і тільки тоді, коли нормування є дискретним, тобто кільце є кільцем дискретного нормування.
• Якщо P є простим ідеалом кільця нормування R то і R_P (локалізація за ідеалом P) і фактор-кільце R/P є кільцями нормування.
• Нехай R є підкільцем поля K і ${\displaystyle h:R\to L}$ є гомоморфізмом кільця R в алгебраїчно замкнуте поле L. Тоді існує максимальне продовження гомоморфізму ${\displaystyle h:A\to L}$ де підкільце ${\displaystyle A\supset R}$, A є підкільцем поля K і продовження гомоморфізму на ще більші підкільця є неможливим. Для кожного такого максимального продовження кільце A є кільцем нормування.
• Ціле замикання області цілісності у своєму полі часток є рівне перетину всіх кілець нормування, що містять цю область цілісності.

• Поле K є кільцем нормування.
• Нехай K — поле, а K[x] і K(x) — відповідно кільце многочленів і поле раціональних функцій над K. Тоді кільце

${\displaystyle R=\left\{{\frac {f(x)}{g(x)}}\;|\;f(x),g(x)\in K[x],\;\deg(f)\leqslant \deg(g)\right\},}$

є кільцем нормування для поля K(x).

• Нехай K — поле, а K[[X]] — кільце формальних степеневих рядів, тобто виразів виду ${\displaystyle F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},\;a_{i}\in K.}$ Тоді K[[X]] є кільцем нормування поля формальних рядів Лорана, тобто виразів виду ${\displaystyle G(X)=\sum \limits _{n=N}^{\infty }a_{n}X^{n},\;N\in \mathbb {Z} \;a_{i}\in K.}$

• Для поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ раціональних чисел і довільного простого числа p, кільце нормування R можна визначити в такий спосіб:

${\displaystyle R=\left\{p^{n}{\frac {q}{r}}\;|\;n\geqslant 0,\;(p,q)=1,\;(p,r)=1\right\}.}$

Для даної цілком впорядкованої абелевої групи Γ і поля k, позначимо K = k((Γ)) кільце формальних степеневих рядів із степенями із групи Γ. Іншими словами елементами K є функції із Γ у k такі, що елементи Γ де значення функції не рівне нулю утворюють цілком впорядковану множину. Додавання функцій є поточковим, а множення є за конволюцією, тобто відбувається аналогічно до множення степеневих рядів:

${\displaystyle \sum _{g\in G}f(g)x^{g}}$ із правилом ${\displaystyle x^{g}\cdot x^{h}=x^{g+h}.}$

Нормування ν(f) для елемента f у K за означення є рівним найменшому елементу g групи Γ для якого f(g) не рівне нулю. Такий елемент існує зважаючи на умови впорядкованості. Множина f для яких ν(f)≥0 (разом із 0 поля K), утворюють підкільце D поля K яке є кільцем нормування щодо нормування ν і з групою нормування Γ.

Множина ідеалів кільця нормування є лінійно впорядкованою щодо включення, будь-який скінченнопорождений ідеал є головним, тобто кільце нормування є кільцем Безу.

Більш повно опис будови ідеалів кільця нормування можна дати в термінах групи значень нормування. Підмножина M лінійно впорядкованої множини називається мажорною (або мажором), якщо з співвідношень ${\displaystyle x\in M}$ і ${\displaystyle y>x}$ випливає, що ${\displaystyle y\in M.}$

Нехай R — кільце нормування v поля K з групою значень Γ, а Γ⁺ — піднапівгрупа додатних елементів у Γ і M — мажорна множина в Γ⁺. Відображення ${\displaystyle M\to \alpha (M)=\{x\in K|v(x)\in M\cup \{\infty \}\}}$ є бієктивним (взаємно однозначним) відображенням множини мажорних підмножин з Γ⁺ на множину ідеалів кільця R. При цьому головним ідеалам відповідають мажори, що мають мінімальні елементи.

Простим ідеалам теж відповідають мажори спеціального виду, а саме: мажори виду ${\displaystyle M_{H}=\Gamma ^{+}\setminus H^{+}}$, де H⁺ — додатна частина деякої опуклої підгрупи H групи Γ, тобто підгрупи для якої, якщо ${\displaystyle h\in H,}$ то також для всіх ${\displaystyle g\in \Gamma }$таких, що ${\displaystyle \min\{-h,h\}\leqslant g\leqslant \max\{-h,h\}}$також ${\displaystyle g\in H.}$ Таким чином, встановлюється взаємно однозначна відповідність між простими ідеалами кільця R і опуклими підгрупами групи значень G.

Нехай p — простий ідеал, що відповідає опуклій підгрупі H, тоді композиція відображень ${\displaystyle K\to G\to G/H}$ буде нормуванням поля K з кільцем нормування ${\displaystyle R_{p}}$ і максимальним ідеалом ${\displaystyle pR_{p}.}$ Крім того, на поле ${\displaystyle R_{p}/pR_{p}}$ індукується нормування зі значеннями в групі H і кільцем нормування ${\displaystyle R/p}$. Тим самим нормування розщеплюється на більш прості.

Нехай R — кільце нормування, тоді простий спектр R без нуля (${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)/(0)}$) є лінійно впорядкованою множиною і її тип називається висотою, або рангом, відповідного нормування Якщо ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$ є скінченною множиною, то висота нормування є числом елементів в ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)/(0)}$, і це число збігається з числом опуклих підгруп групи G, що не рівні самій групі G.

Нормування скінченного рангу зводяться до нормування рангу 1. Останні характеризуються тим, що їх група значень — архімедова група, тобто ізоморфна деякій підгрупі адитивної групи дійсних чисел. В цьому випадку відображення ${\displaystyle x\to \exp(-v(x))}$ є ультраметричним абсолютним значенням на полі K.

• Абсолютне значення (алгебра)
• Кільце дискретного нормування
• Нормування (алгебра)
• Область Прюфера

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Valuation, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Robert B. Ash A Course In Commutative Algebra Chapter 3 Valuation Rings [Архівовано 7 грудня 2016 у Wayback Machine.]

• Алгебраическая теория чисел. ред. Касселс Д., Фрёлих А. М.: Мир 1969
• Cohn, P. M. (1991), Algebraic Numbers and Algebraic Functions, Chapman Hall/CRC Mathematics Series, т. 4, CRC Press, ISBN 9780412361906
• Goldschmidt, David M. (2003), Algebraic Functions and Projective Curves, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN 0 387-95432-5
• Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.