Полярний розклад матриці

Квадратна матриця з комплексними елементами може бути представлена як добуток унітарної матриці та невід'ємної ермітової матриці:

де

— невід'ємноозначені матриці,
— унітарна матриця.

Матриця буде нормальною тоді і тільки тоді, коли будуть переставними (що рівнозначно до ).

Для доведення використаємо сингулярний розклад матриці:

Знаходження модуля

Оскільки:

матриці однозначно визначаються як:

Якщо матриця нормальна, то за визначенням.

Знаходження повороту

Використавши отримаємо

Використавши знову ж отримаємо

Полярний розклад нормальної матриці

Якщо матриця — нормальна, тоді матриці — є переставними та нормальними, отже одночасно діагоналізуємими:

де

— унітарна матриця,
— невід'ємноозначена діагональна матриця,
— унітарна діагональна матриця.

Тоді

власний розклад матриці.

Джерела

Prefix: a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Portal di Ensiklopedia Dunia

Kembali kehalaman sebelumnya