Проблема ВорингаПроблема Воринга — запропонована у 1770 році Едвардом Ворингом проблема теорії чисел, що запитує чи для кожного натурального числа k існує пов'язане додатне ціле число s таке, що кожне натуральне число є сумою не більше, ніж s k-тих степенів натуральних чисел (наприклад, кожне число є сумою не більше 4 квадратів, або 9 кубів, або 19 четвертих степенів і т.д.). Ствердну відповідь, відому як теорема Гільберта — Воринга, довів Гільберт у 1909 році.[1] Проблема Воринга має свою власну MSC-класифікацію, 11P05, "Проблема Воринга та варіанти". Число g(k)Для кожного k, позначимо через g(k) мінімальне число k-тих степенів, необхідних для подання всіх цілих чисел. Очевидно, що g(1) = 1. Прості міркування показують, що 7 вимагає 4 квадрати, 23 вимагає 9 кубів, і 79 вимагає 19 четвертих степенів; ці приклади показують, що g(2) ≥ 4, g(3) ≥ 9, а g(4) ≥ 19. Воринга припустив, що ці значення були дійсно найкращі з можливих. У 1770 році Лагранж довів теорему про чотири квадрати згідно з якою, кожне натуральне число є сумою не більше чотирьох квадратів, а, оскільки, трьох квадратів не вистачає, ця теорема встановила, що g(2) = 4. Таку гіпотезу висловлював ще в 1621 році Клодом Баше (Claude Gaspard Bachet de Méziriac); Ферма стверджував, що знає доведення, але не опублікував його[2]. Протягом багатьох років, використовують все більш витончені й складні методи доведення, були встановлені різні оцінки. Наприклад, Ліувілль показав, що g(4) не перевищує 53. Гарді та Літлвуд показали, що досить великі числа є сумою не більше 19 четвертих степенів. Те, що g(3) = 9 було встановлено між 1909 та 1912 роками Віферихом[3] та Кемпнером (A. J. Kempner)[4], у 1986 році Баласубраманян (Ramachandran Balasubramanian), Дресс (F. Dress) та J.-M. Deshouillers[5] показали, що g(4) = 19 Ейлер припустив, що, позначаючи через [x] і {x} цілу та дробової частини x відповідно, g(k) = 2k + [(3/2)k] − 2.[6]. Пізніші роботи Діксона (Leonard Eugene Dickson), Нівена[7] та інших уточнили цю ідею. Число G(k)
Починаючи з робіт Гарді та Літлвуда, більша увага ніж g(k) приділяється числу G(k), яке визначається як найменше число s таке, що кожне достатньо велике ціле (тобто кожне ціле число, більше деякої константи) може бути представлено у вигляді суми не більше ніж s k-тих степенів додатних цілих. Очевидно, що G(k) ≤ g(k). Оскільки квадрати цілих чисел конгруентні 0,1 або 4 за модулем 8, то жодне число x ≡ 7 (mod 8) не може бути представлене сумою менш ніж чотирьох квадратів, тобто, G(2)=4. У 1939 році Девенпорт (Harold Davenport) показав, що G(4)=16. Для інших k значення G(k) є невідоме, але встановлені нижня та верхні границі: Див. такожПримітки
|
Portal di Ensiklopedia Dunia
