Стала Ландау — Рамануджана

У математиці стала Ландау — Рамануджана — результат теорії чисел про щільність сум двох квадратів цілих чисел на числовій осі. Цю теорему довели незалежно Едмунд Ландау та Срініваса Рамануджан.

Якщо ${\displaystyle N(x)}$ — кількість на відрізку ${\displaystyle [1,\;x]}$ цілих чисел, які є сумою двох квадратів цілих чисел, то

${\displaystyle N(x)={\frac {Cx}{\sqrt {\ln(x)}}}(1+o(1)),}$

де ${\displaystyle C}$ — стала пропорційності Ландау — Рамануджана:

${\displaystyle C=\lim _{x\to \infty }{\frac {N(x){\sqrt {\ln(x)}}}{x}}\approx 0{,}764\;223\;653\;589\;220\;662\;990\;698\;731\;25.}$

З теореми Ландау — Рамануджана випливає, що при зростанні ${\displaystyle x}$ середня похибка наближення цілого числа з інтервалу від 1 до ${\displaystyle x}$ сумою двох квадратів цілих чисел не менша, ніж ${\displaystyle {\frac {\sqrt {\ln(x)}}{2C}}(1+o(1))}$. Відома (2013) тривіальна оцінка похибки такого наближення зверху суттєво більша — ${\displaystyle O(x^{1/4})}$. З часів Ейлера існує гіпотеза про те, що

${\displaystyle \min _{u,\;w\in \mathbb {Z} }|x-u^{2}-w^{2}|\leqslant x^{\varepsilon },}$

де ${\displaystyle \varepsilon >0,\;\varepsilon }$ — будь-яке, ${\displaystyle x\geqslant x_{1}(\varepsilon )}$.

Ця задача є узагальненням проблеми Воринга.

Число ${\displaystyle a}$ подаване у вигляді ${\displaystyle s^{2}+t^{2}=a}$ (${\displaystyle s}$ і ${\displaystyle t}$ — цілі) тоді й лише тоді, коли всі прості числа виду ${\displaystyle 4k+3}$ входять у канонічний розклад числа з парним степенем.^[1]

Цей результат уперше отримав Ферма, а довів Ейлер.

• Weisstein, Eric W. Стала Ландау — Рамануджана(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• послідовність A064533 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS