Регулярне локальне кільце

Регулярне локальне кільце — нетерове локальне кільце, таке що число твірних його максимального ідеалу збігається з розмірністю Круля кільця. Назва регулярне пояснюється геометричними причинами. Точка ${\displaystyle x}$ алгебраїчного многовида ${\displaystyle X}$ є неособливою (регулярною) тоді і тільки тоді, коли локальне кільце ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ ростків раціональних функцій в точці ${\displaystyle x}$ є регулярним.

Існує кілька еквівалентних визначень регулярного локального кільця. Зокрема, якщо ${\displaystyle A}$  — нетерове локальне кільце з максимальним ідеалом ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, такі визначення еквівалентні:

• Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ де ${\displaystyle n}$ вибрано настільки малим, наскільки це можливо (в будь-якому випадку, n не може бути меншим розмірності Круля). ${\displaystyle A}$ є регулярним, якщо

${\displaystyle {\mbox{dim}}A=n.}$

• Нехай ${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$  — поле лишків кільця ${\displaystyle A}$. Тоді ${\displaystyle A}$ є регулярним, якщо

${\displaystyle \dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A}$,

Тут перша розмірність  — розмірність векторного простору, а друга  — розмірність Круля.

• Нехай ${\displaystyle {\mbox{gl dim}}A}$  — глобальна розмірність ${\displaystyle A}$ (тобто супремум проективних розмірностей всіх ${\displaystyle A}$-модулів.) Тоді ${\displaystyle A}$ є регулярним, якщо

${\displaystyle {\mbox{gl dim}}A<\infty }$,

У цьому випадку ${\displaystyle {\mbox{gl dim}}A}$ завжди збігається з розмірністю Круля.

Множина твірних максимального ідеалу кількість елементів якої рівна розмірності Круля називається регулярною системою твірних.

Кільце A називається регулярним, якщо його локалізація по довільному простому ідеалу  — регулярне локальне кільце.

Інше нееквівалентне означення регулярного кільця дав Серр. Згідно цього означення комутативне кільце називається регулярним, якщо воно має скінченну глобальну розмірність. Регулярне в сенсі Серра кільце є регулярним але не обов'язково навпаки.

• Будь-яке поле  — регулярне локальне кільце. Насправді, поля  — це всі регулярні локальні кільця розмірності 0.
• Регулярні локальні кільця розмірності 1  — це кільця дискретного нормування. Зокрема, кільце формальних степеневих рядів ${\displaystyle k[[x]]}$ (k  — довільне поле) є регулярним локальним кільцем. Інший приклад  — кільце p-адичних чисел.
• Більш загально, кільце формальних степеневих рядів ${\displaystyle k[[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{d}]]}$ — регулярне локальне кільце розмірності d .
• Всі кільця Дедекінда є регулярними.
• Нехай R — локалізація кільця ${\displaystyle {\frac {k[X,Y]}{(X^{3}-Y^{2})}},}$ де k  — поле по максимальному ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=({\bar {X}},{\bar {Y}}).}$ Тоді R не є регулярним локальним кільцем. У цьому випадку ${\displaystyle \dim R=\operatorname {ht} {\mathfrak {m}}=1}$ оскільки ${\displaystyle \operatorname {ht} (X,Y)=2,}$ а ${\displaystyle X^{3}-Y^{2}}$ не є дільником нуля у кільці ${\displaystyle k[X,Y].}$ Натомість ${\displaystyle ({\bar {X}},{\bar {Y}})}$ є мінімальною породжуючою множиною.

• Теорема Аусландера — Бухсбаума стверджує, що кожне регулярне локальне кільце є факторіальним кільцем.
• Якщо ${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$ — повне регулярне локальне кільце, що містить деяке поле, то

${\displaystyle A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]}$,

де ${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$, а ${\displaystyle d}$  — розмірність Круля. Це твердження є найважливішим частковим випадком структурної теореми Коена, що описує будову усіх повних регулярних кілець.

• Асоційоване градуйоване кільце ${\displaystyle \operatorname {Gr} (A)=\bigoplus _{n\geqslant 0}({\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1})}$ є ізоморфним кільцю многочленів ${\displaystyle k[X_{1},...,X_{n}],}$ де ${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}.}$
• Регулярне локальне кільце є областю цілісності.
• Якщо A  — регулярне кільце, то кільце многочленів ${\displaystyle A[x]}$ і кільце формальних степеневих рядів ${\displaystyle A[[x]]}$ є регулярними.
• Будь-яка локалізація регулярного кільця є регулярним кільцем. Наприклад, ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]_{(2,x)}}$  — двовимірне регулярне кільце, яке не містить ніякого поля.
• Поповнення регулярного кільця є регулярним.
• Нехай A — регулярне локальне кільце і ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ — його простий ідеал. Кільце ${\displaystyle A/{\mathfrak {p}}}$ є регулярним локальним кільцем тоді і тільки тоді коли ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ породжується деякою підмножиною системи регулярних твірних. Якщо кількість цих елементів рівна t, а розмірність A рівна n то розмірність ${\displaystyle A/{\mathfrak {p}}}$ рівна n — t.

Визначення регулярного локального кільця було дано Вольфгангом Крулем в 1937 році,^[1] проте вони стали відомими завдяки роботам Оскара Зариського,^[2][3] який довів що регулярні локальні кільця відповідають гладким точкам алгебраїчних многовидів.

Нехай Y  — алгебраїчний многовид, що міститься в n-вимірному афінному просторі над досконалим полем, і визначається як множина загальних нулів многочленів (від n змінних) f₁,…,f_m. Y є особливим у точці P, якщо ранг матриці Якобі (матриці (∂f_i/∂x_j)) в цій точці є меншим, ніж в іншій точці многовида. Розмірність многовида дорівнює різниці n і рангу матриці Якобі в неособливих точках. Зариський довів, що матриця Якобі в точці P є неособливою тоді і тільки тоді, коли локальне кільце многовида Y в P є регулярним. Зариський також зауважив, що це не обов'язково вірно для недосконалих полів.) З цього випливає, що гладкість є внутрішньою властивістю многовида, тобто не залежить від конкретного вкладення многовида в афінний простір.

• Локальне кільце
• Розмірність Круля
• Структурна теорема Коена

• Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії

• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — Москва : Мир, 1971. — С. 707. — (Елементи математики)(рос.)
• Jean-Pierre Serre , Local algebra, Springer-Verlag, 2000.  — ISBN 3-540-66641-9. Chapter IV.D.
• Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.