Локальне кільце

Локальне кільце — кільце з одиницею, що має єдиний максимальний ідеал. Якщо R — комутативне локальне кільце з максимальним ідеалом ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, то фактор-кільце ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$ є полем і називається полем лишків локального кільця R.

кільце R (асоціативне з одиницею) називається локальним кільцем якщо воно задовольняє одній із еквівалентних умов:

• R має єдиний максимальний лівий ідеал.
• R має єдиний максимальний правий ідеал.
• 1 ≠ 0 і сума двох необоротних елементів у R є необоротним елементом.
• 1 ≠ 0 і для довільного елемента x або x або 1 − x є оборотним елементом.
• Якщо скінченна сума є оборотним елементом, то хоча б один із доданків є оборотним елементом (звідси зокрема 1 ≠ 0).

При виконанні цих умов єдиний максимальний правий ідеал є рівним єдиному максимальному лівому і є рівним радикалу Джекобсона. Для комутативних кілець поняття лівих і правих ідеалів не відрізняються.

• Будь-яке поле або кільце нормування є локальним.
• Локальним є також кільце формальних степеневих рядів ${\displaystyle k[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]}$ над полем k або над будь-яким локальним кільцем. Навпаки, кільце многочленів ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ не є локальним кільцем.

• Нехай X — топологічний простір (диференційовний многовид, аналітичний простір, або алгебраїчний многовид), а x — точка в X. Нехай R — кільце ростків в точці x неперервних функцій (відповідно диференційовних, аналітичних або регулярних функцій); тоді R — локальне кільце, максимальний ідеал якого складається з ростків функцій, що приймають значення 0 в точці x.

До локального кільця приводять деякі загальні конструкції в теорії кілець, найважливішою з яких є локалізація.

Нехай R — комутативне кільце, а ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ — простий ідеал в R. Кільце ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$, яке складається з дробів виду ${\displaystyle {\frac {r}{s}}}$, де ${\displaystyle r\in R,s\in R\setminus {\mathfrak {p}}}$, є локальним і називається локалізацією кільця R в ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Максимальним ідеалом кільця ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ є ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$, а поле лишків ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ототожнюється з полем часток фактор-кільця ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}},}$ що є областю цілісності.

Інші конструкції, що приводять до локального кільця — гензелізація або поповнення кільця щодо деякого максимального ідеалу.

Властивість комутативного кільця R (або R-модуля М, або R-алгебри В) називається локальною властивістю, якщо виконання її для R (або М, або В) еквівалентно виконанню її для кілець ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ (відповідно модулів ${\displaystyle M\bigotimes _{R}R_{\mathfrak {p}}}$ або алгебри ${\displaystyle B\bigotimes _{R}R_{\mathfrak {p}}}$) для всіх простих ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ кільця R.

Степені ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{n}}$ максимального ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ комутативного локального кільця R визначають базис околів нуля так званої топології локального кільця (або ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-адичної топології). Для локального кільця Нетер ця топологія є гаусдорфовою (теорема Круля), а довільний його ідеал є замкнутим.

Будь-яке фактор-кільце локального кільця також є локальним.

Будь-який проективний модуль над локальним кільцем є вільним.

Далі розглядаються тільки нетерові локальні кільця.

• Локальне кільце називається повним локальним кільцем, якщо воно є повним щодо ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-адичної топології; в цьому випадку ${\displaystyle R=\lim R/{\mathfrak {m}}^{n}}$. У повному локальному кільці ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-адична топологія є слабшою за будь-яку іншу гаусдорфову топологію (теорема Шевалле).
• Будь-яке повне локальне кільце є фактор-кільцем кільця ${\displaystyle S[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]}$ формальних степеневих рядів, де S — поле або повне кільце дискретного нормування.

• Тонше, кількісне дослідження локального кільця R пов'язано із застосуванням поняття приєднаного градуйованого кільця ${\displaystyle Gr(R)=\bigoplus _{n\geqslant 0}({\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1})}$. Нехай ${\displaystyle H_{R}(n)}$ — розмірність векторного простору ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}}$ над полем лишків ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$; як функція цілого аргументу n вона називається функцією Гільберта — Самюеля (або характеристичною функцією) локального кільця. При великих n ця функція збігається з деяким многочленом ${\displaystyle {\bar {H}}_{R}(n)}$ від n, який називається многочленом Гільберта — Самюеля локального кільця R.
• Формальний ряд

${\displaystyle P_{R}(t)=\sum _{n\geqslant 0}H_{R}(n)\cdot t^{n}}$

є раціональною функцією вигляду ${\displaystyle f(t)(1-t)^{-d(R)}}$ де ${\displaystyle f(t)\in \mathbb {Z} [t]}$ — многочлен, а d(A)-1 рівне степеню ${\displaystyle {\bar {H}}_{R}}$.

• Ціле число d(R) збігається з розмірністю Круля dim R кільця R і є одним з важливих інваріантів кільця.
• d(R) є рівним найменшому числу елементів ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{d}\in R}$, для яких фактор-кільце ${\displaystyle R/(r_{1},\ldots ,r_{d})}$ є кільцем Артіна. Якщо ці елементи можна вибрати так, щоб вони породжували максимальний ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, то локальне кільце R називається регулярним локальним кільцем.
• Регулярність R еквівалентна тому, що ${\displaystyle dim({\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2})=dimR}$.
• Для d-вимірного регулярного кільця R

${\displaystyle H_{R}(n)={{n+d-1} \choose {d-1}}}$

Аналогічна теорія будується для напівлокальних кілець, тобто кілець, що мають скінченне число максимальних ідеалів. Роль максимального ідеалу для них при цьому відіграє радикал Джекобсона.

• Локалізація кільця
• Регулярне локальне кільце

• Regular Local Rings. [Архівовано 24 травня 2010 у Wayback Machine.]

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 2. — 438 с.(рос.)