Розклад ХолецькогоРозклад Холецького — представлення симетричної додатноозначеної матриці у вигляді де — нижня трикутна матриця з додатніми елементами на діагоналі. Для симетричних матриць розклад Холецького завжди існує і, для додатноозначених матриць, він єдиний. Для невід'ємновизначених матриць розклад не єдиний. Для матриць з комплексними елементами: якщо — додатноозначена ермітова матриця, то існує розклад Розклад названий в честь французького математика Андре-Луї Холецького[en] (1875-1918). АлгоритмЕлементи матриці можна обчислити, починаючи з верхнього лівого кута, за формулами:
Вираз під коренем завжди додатній, якщо — дійсна додатновизначена матриця. Для комплекснозначних ермітових матриць використовуються формули:
LDL-розкладПов'язаним із розкладом Холецького є LDL-розклад: де — одинична нижня трикутна матриця; — діагональна матриця.
ЗастосуванняРозклад Холецького може застосовуватись для розв'язку системи лінійних рівнянь з симетричною додатноозначеною матрицею. Такі матриці часто виникають, наприклад, при використанні методу найменших квадратів чи числовому розв'язуванні диференціальних рівнянь. Виконавши розклад , розв'язок отримаємо послідовно розв'язавши дві трикутні СЛАР: та . Такий спосіб розв'язку називають методом квадратних коренів. Порівняно з загальнішими методами: метод Гауса чи LU-розклад матриці, він стійкіший і потребує вдвічі менше арифметичних операцій. Джерела
|
Portal di Ensiklopedia Dunia