Рівняння електромагнітної хвилі

Рівняння електромагнітної хвилі - це диференціальне рівняння з частковими похідними другого порядку, за допомогою якого можна описати поширення електромагнітних хвиль у середовищі або у вакуумі . Це тривимірна форма хвильового рівняння . Однорідна форма рівняння, записана через електричне поле E або магнітне поле B, має вигляд:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(v_{ph}^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} &=\mathbf {0} \\\left(v_{ph}^{2}\nabla ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} &=\mathbf {0} \end{aligned}}}$

де

${\displaystyle v_{ph}={\frac {1}{\sqrt {\mu \varepsilon }}}}$

- швидкість світла (тобто фазова швидкість ) у середовищі з магнітною проникністю μ та діелектричною проникністю ε, а ∇² - оператор Лапласа . У вакуумі v_ph = c₀ = 299,792,458 метрів на секунду - основна фізична стала . Рівняння електромагнітної хвилі випливає з рівнянь Максвелла . У більшості старих літературних джерел B називають густиною магнітного потоку або магнітною індукцією .

У своїй статті 1865 року під назвою «Динамічна теорія електромагнітного поля» Максвелл використав виправлення до циркулярного закону Ампера, яке він вніс у частину III статті 1861 року « Про фізичні сили». У частині VI своєї роботи 1864 року, під назвою "Електромагнітна теорія світла" ^[1] Максвелл поєднав струм переміщення з деякими іншими рівняннями електромагнетизму, і отримав хвильове рівняння зі швидкістю, що дорівнює швидкості світла. Він прокоментував:

Узгодженість результатів, здається, показує, що світло і магнетизм - це вплив однієї і тієї ж речовини, і що світло - це електромагнітне збурення, що поширюється полем відповідно до електромагнітних законів. ^[2]

Висновок Максвелла про рівняння електромагнітних хвиль було замінено у сучасній фізичній освіті набагато менш громіздким методом, що передбачає поєднання виправленої версії закону Ампера з законом Індукції Фарадея .

Щоб отримати рівняння електромагнітної хвилі у вакуумі за допомогою сучасних методів, ми почнемо з сучасної форми рівнянь Максвелла у формі " Хевісайда" . У просторі без вакууму та заряду ці рівняння:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\end{aligned}}}$

Це загальні рівняння Максвелла, спеціалізовані для випадку із зарядом і струмом, що дорівнюють нулю. Прийняття вихрів рівнянь завитки дає:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {E} \right)&=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {B} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)&=\nabla \times \left(\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {E} \right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$

Ми можемо використовувати векторну ідентичність

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} }$

де V - будь-яка векторна функція простору. І

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {V} =\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {V} \right)}$

де ∇V - діада, яка при дії оператора розбіжності ∇ ⋅ дає вектор. Оскільки

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\end{aligned}}}$

тоді перший доданок справа в тотожності зникає, і ми отримуємо хвильові рівняння:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} &=0\\{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} &=0\end{aligned}}}$

де

${\displaystyle c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\;{\textrm {m/s}}}$

- швидкість світла у вільному просторі.

Ці релятивістські рівняння можна записати у противаріантній формі як

${\displaystyle \Box A^{\mu }=0}$

де електромагнітний чотирипотенціал

${\displaystyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)}$

з каліброваною умовою Лоренца :

${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0,}$

і де

${\displaystyle \Box =\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}}$

є оператором д'Аламбера.

Рівняння електромагнітної хвилі модифікується двома способами, похідна замінюється коваріантною похідною і з'являється новий доданок, який залежить від кривизни.

${\displaystyle -{A^{\alpha ;\beta }}_{;\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=0}$

де ${\displaystyle \scriptstyle {R^{\alpha }}_{\beta }}$ є тензором кривизни Річчі, а крапка з комою вказує на коваріантну диференціацію.

Припускається узагальнення каліброваної умови Лоренца в кривому просторі-часі:

${\displaystyle {A^{\mu }}_{;\mu }=0.}$

Локалізовані в часі змінні густини заряду і струму можуть виступати джерелами електромагнітних хвиль у вакуумі. Рівняння Максвелла можна записати у вигляді хвильового рівняння з джерелами. Додавання джерел до хвильових рівнянь робить диференціальні рівняння з частинними похідними неоднорідними.

Загальним рішенням рівняння електромагнітної хвилі є лінійна суперпозиція хвиль виду

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=g(\phi (\mathbf {r} ,t))=g(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}$

для практично будь -якої належної функції g безрозмірного аргументу φ, де ω - кутова частота (у радіанах за секунду), а k = (k_x, k_y, k_z) - хвильовий вектор (у радіанах на метр).

Хоча функція g може бути і часто є монохроматичною синусоїдою, вона не повинна бути синусоїдальною або навіть періодичною. На практиці g не може мати нескінченну періодичність, оскільки будь-яка реальна електромагнітна хвиля завжди повинна мати кінцевий ступінь у часі та просторі. Як результат, на основі теорії розкладання Фур'є, реальна хвиля повинна складатися з суперпозиції нескінченного набору синусоїдальних частот.

Крім того, для дійсного рішення хвильовий вектор і кутова частота не є незалежними; вони повинні дотримуватися дисперсійного відношення :

${\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$

де k - число хвилі, а λ - довжина хвилі . Змінна c може бути використана в цьому рівнянні лише тоді, коли електромагнітна хвиля знаходиться у вакуумі.

Найпростіший набір рішень хвильового рівняння випливає з припущення синусоїдальних сигналів однієї частоти у відокремлюваній формі:

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\Re \left\{\mathbf {E} (\mathbf {r} )e^{i\omega t}\right\}}$

де

i - уявна одиниця ,

ω = 2π f - кутова частота в радіанах за секунду ,

 f - частота в герцах, і

${\displaystyle \scriptstyle e^{i\omega t}=\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)}$ - формула Ейлера .

Розглянемо площину, визначену одиничним нормальним вектором

${\displaystyle \mathbf {n} ={\mathbf {k} \over k}.}$

Тоді площинні хвильові розв'язки хвильових рівнянь є

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=\mathbf {E} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\mathbf {B} _{0}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$

де r = (x, y, z) - вектор положення (у метрах).

Ці рішення представляють плоскі хвилі, що рухаються в напрямку нормального вектора n . Якщо визначити напрямок z як напрямок n . і напрям x як напрямок E, тоді за законом Фарадея магнітне поле лежить в напрямку y і пов'язане з електричним полем відношенням

${\displaystyle c^{2}{\partial B \over \partial z}={\partial E \over \partial t}.}$

Оскільки розбіжності електричного та магнітного полів дорівнюють нулю, полів у напрямку розповсюдження немає.

Це рішення є лінійно поляризованим рішенням хвильових рівнянь. Існують також циркулярно поляризовані розчини, в яких поля обертаються навколо нормального вектора.

Через лінійність рівнянь Максвелла у вакуумі розчини можна розкласти на суперпозицію синусоїд . Це основа для методу перетворення Фур'є для розв'язку диференціальних рівнянь. Синусоїдальний розчин рівняння електромагнітної хвилі набуває вигляду

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})}$

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})}$

де

t - час (у секундах),

ω - кутова частота (в радіанах за секунду),

k = (k_x, k_y, k_z) - хвильовий вектор (в радіанах на метр), і

${\displaystyle \scriptstyle \phi _{0}}$ - фазовий кут (у радіанах).

Хвильовий вектор пов'язаний з кутовою частотою на

${\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }}$

де k - число хвилі, а λ - довжина хвилі .

Електромагнітний спектр - це графік величин поля (або енергій) як функції довжини хвилі.

Припускаючи, що монохроматичні поля змінюються в часі як ${\displaystyle e^{-i\omega t}}$, якщо використовувати рівняння Максвелла для усунення B, рівняння електромагнітної хвилі зводиться до рівняння Гельмгольца для E :

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} =0,\,\mathbf {B} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} ,}$

з k = ω / c, як зазначено вище. Як варіант, можна виключити E на користь B щоб отримати:

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {B} =0,\,\mathbf {E} =-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} .}$

Загальне електромагнітне поле з частотою ω можна записати як суму розв’язків цих двох рівнянь. Тривимірні рішення рівняння Гельмгольца можна виразити як розкладання сферичних гармонік з коефіцієнтами, пропорційними сферичним функціям Бесселя . Однак застосування цього розширення до кожної векторної складової E або B дасть рішення, які загалом не мають розбіжностей ( ∇ · E = ∇ · B = 0 ), а отже, вимагають додаткових обмежень на коефіцієнти.

Багатополюсне розширення обходить цю складність, розширюючи не E або B, а r · E або r · B в сферичні гармоніки. Ці розширення все ще вирішують вихідні рівняння Гельмгольца для E та B оскільки для поля, що не розходиться, F, ∇² (r · F) = r · (∇² F) . Отримані вирази для загального електромагнітного поля є:

${\displaystyle \mathbf {E} =e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {E} _{l,m}^{(M)}\right]}$

${\displaystyle \mathbf {B} =e^{-i\omega t}\sum _{l,m}{\sqrt {l(l+1)}}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(E)}+a_{M}(l,m)\mathbf {B} _{l,m}^{(M)}\right]}$ ,

де ${\displaystyle \mathbf {E} _{l,m}^{(E)}}$ і ${\displaystyle \mathbf {B} _{l,m}^{(E)}}$ - електричні багатополюсні поля порядку (l, m), і ${\displaystyle \mathbf {E} _{l,m}^{(M)}}$ і ${\displaystyle \mathbf {B} _{l,m}^{(M)}}$ - відповідні магнітні багатополюсні поля, а a_E(l, m) та a_M(l, m) - коефіцієнти розширення. Багатополюсні поля задаються

${\displaystyle \mathbf {B} _{l,m}^{(E)}={\sqrt {l(l+1)}}\left[B_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+B_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{l,m}^{(E)}={\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {B} _{l,m}^{(E)}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{l,m}^{(M)}={\sqrt {l(l+1)}}\left[E_{l}^{(1)}h_{l}^{(1)}(kr)+E_{l}^{(2)}h_{l}^{(2)}(kr)\right]\mathbf {\Phi } _{l,m}}$

${\displaystyle \mathbf {B} _{l,m}^{(M)}=-{\frac {i}{k}}\nabla \times \mathbf {E} _{l,m}^{(M)}}$ ,

де h _l ^(1,2) ( x ) - сферичні функції Ганкеля, E _l ^(1,2) та B _l ^(1,2) визначаються граничними умовами, і

${\displaystyle \mathbf {\Phi } _{l,m}={\frac {1}{\sqrt {l(l+1)}}}(\mathbf {r} \times \nabla )Y_{l,m}}$

- векторні сферичні гармоніки, нормовані так, що

${\displaystyle \int \mathbf {\Phi } _{l,m}^{*}\cdot \mathbf {\Phi } _{l',m'}d\Omega =\delta _{l,l'}\delta _{m,m'}.}$

Багатополюсне розширення електромагнітного поля знаходить застосування в ряді проблем, що включають сферичну симетрію, наприклад, діаграми випромінювання антен або ядерний гамма-розпад . У цих додатках часто цікавить потужність, що випромінюється в далекому полі . У цих регіонах поля E та B асимптотують до

${\displaystyle \mathbf {B} \approx {\frac {e^{i(kr-\omega t)}}{kr}}\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}+a_{M}(l,m)\mathbf {\hat {r}} \times \mathbf {\Phi } _{l,m}\right]}$

${\displaystyle \mathbf {E} \approx \mathbf {B} \times \mathbf {\hat {r}} .}$

Тоді кутовий розподіл усередненої за часом потужності випромінювання визначається як

${\displaystyle {\frac {dP}{d\Omega }}\approx {\frac {1}{2k^{2}}}\left|\sum _{l,m}(-i)^{l+1}\left[a_{E}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\times \mathbf {\hat {r}} +a_{M}(l,m)\mathbf {\Phi } _{l,m}\right]\right|^{2}.}$

1. ↑ Maxwell 1864, page 497.
2. ↑ See Maxwell 1864, page 499.

• Максвелл, Джеймс Клерк, " Динамічна теорія електромагнітного поля ", Філософські угоди Лондонського королівського товариства 155, 459-512 (1865). (Ця стаття супроводжувала презентацію Максвелла 8 грудня 1864 р. Перед Королівським товариством. )

• Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X. Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.

• Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X. Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
• Ландау, Л.Д., Класична теорія полів ( Курс теоретичної фізики : Том 2), (Баттерворт-Хайнеман: Оксфорд, 1987).ISBN 0-08-018176-7 .
• Maxwell, James C. (1954). A Treatise on Electricity and Magnetism. Dover. ISBN 0-486-60637-6.Maxwell, James C. (1954). A Treatise on Electricity and Magnetism. Dover. ISBN 0-486-60637-6. Maxwell, James C. (1954). A Treatise on Electricity and Magnetism. Dover. ISBN 0-486-60637-6.
• Чарльз В. Міснер, Кіп С. Торн, Джон Арчібальд Вілер, Гравітація, (1970) WH Freeman, Нью-Йорк;ISBN 0-7167-0344-0 . (Надає трактування рівнянь Максвелла з точки зору диференціальних форм. )

• PC Matthews Vector Calculus, Springer 1998,ISBN 3-540-76180-2
• Х. М. Шей, Дів Град Керл і все таке: Неформальний текст про векторне числення, 4-е видання (WW Norton & Company, 2005)ISBN 0-393-92516-1 .