Рівняння рендерингу

У комп'ютерній графіці рівняння рендерингу — інтегральне рівняння, яке визначає кількість світлового випромінювання у певному напрямку як суму власного та відбитого випромінювань. Рівняння вперше було опубліковано в роботах David Immel^[1] і James Kajiya^[2] в 1986 р.

Різні алгоритми комп'ютерної графіки розв'язують це основне рівняння.

Фізичною основою рівняння є закон збереження енергії. Нехай L — це кількість випромінювання в заданому напрямку у заданій точці простору. Тоді кількість вихідного випромінювання (L_o) — це сума випроміненого (L_e) і відбитого світла. Відбите світло може бути поданим у вигляді суми випромінювання (L_i), що приходить по всім напрямкам, помноженого на коефіцієнт відбиття з даного кута.

Рівняння рендерингу має наступний вигляд:

${\displaystyle L_{o}(\mathbf {x} ,\omega ,\lambda ,t)=L_{e}(\mathbf {x} ,\omega ,\lambda ,t)+\int _{\Omega }f_{r}(\mathbf {x} ,\omega ',\omega ,\lambda ,t)L_{i}(\mathbf {x} ,\omega ',\lambda ,t)(-\omega '\cdot \mathbf {n} )d\omega '}$

де:

• ${\displaystyle \lambda \,\!}$ — довжина хвилі світла;
• ${\displaystyle t\,\!}$ — час;
• ${\displaystyle L_{o}(\mathbf {x} ,\omega ,\lambda ,t)}$ — кількість випромінювання заданої довжини хвилі ${\displaystyle \lambda \,\!}$, яке приходить вздовж напрямку ${\displaystyle \omega }$ в час ${\displaystyle t\,\!}$, з заданої точки ${\displaystyle \mathbf {x} \,\!}$;
• ${\displaystyle L_{e}(\mathbf {x} ,\omega ,\lambda ,t)}$ — випромінюване світло;
• ${\displaystyle \int _{\Omega }\cdots d\omega '}$ — інтеграл по напівсфері вхідних напрямків;
• ${\displaystyle f_{r}(\mathbf {x} ,\omega ',\omega ,\lambda ,t)}$ — двонаправлена функція розподілу відбиття, кількість випромінювання, відбитого від ${\displaystyle \omega '}$ до ${\displaystyle \omega }$ в точці ${\displaystyle \mathbf {x} \,\!}$, в час ${\displaystyle t\,\!}$, на довжині хвилі ${\displaystyle \lambda \,\!}$;
• ${\displaystyle L_{i}(\mathbf {x} ,\omega ',\lambda ,t)}$ — довжина хвилі ${\displaystyle \lambda \,\!}$ по вхідному напрямку до точки ${\displaystyle \mathbf {x} \,\!}$ з напрямку ${\displaystyle \omega '}$ в час ${\displaystyle t\,\!}$;
• ${\displaystyle -\omega '\cdot \mathbf {n} }$ — поглинання вхідного випромінювання по заданому куту.

Рівняння має три особливості: воно лінійне, ізотропне і однорідне — тобто однакове для всіх напрямків і точок простору.