Список сферичних гармонік

Дана стаття містить перелік ортонормованих сферичних гармонік, записаних у фазі Кондона-Шортлі до порядку $\ell =10$ (дана фаза впливає на знак «+» чи «-» у виразі для сферичної гармоніки). Формули наводяться як у в сферичній системі координат $r,\varphi ,\theta$ так і в декартових координатах $x,y,z$ , та $r$ , де $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ . Використовується наступний зв'язок між компонентами $\theta$ і $\varphi$ сферичної системи координат та декартовими координатами: ${\begin{cases}\cos(\theta )&=z/r\\e^{\pm i\varphi }\cdot \sin(\theta )&=(x\pm iy)/r\end{cases}}$ Сферичні гармоніки представляють собою власні коливання тривимірного сферичного об'єму (кулі).

Комплекснозначні сферичні гармоніки

Для $l=0,1,\ldots ,5$ див. також^[1]

ℓ = 0

$Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {1 \over \pi }}$

ℓ = 1

${\begin{aligned}Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta &&=&&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot {(x-iy) \over r}\\Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\cdot \cos \theta &&=&&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\cdot {z \over r}\\Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )&=&-&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta &&=&-&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot {(x+iy) \over r}\end{aligned}}$

ℓ = 2

${\begin{aligned}Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot {(x-iy)^{2} \over r^{2}}&\\Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta \quad &&=&&{1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot {(x-iy)\cdot z \over r^{2}}&\\Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}\cdot (3\cos ^{2}\theta -1)\quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}\cdot {(3z^{2}-r^{2}) \over r^{2}}&\\Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )&=&-&{1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta \quad &&=&-&{1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot {(x+iy)\cdot z \over r^{2}}&\\Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot {(x+iy)^{2} \over r^{2}}&\\{}\end{aligned}}$

ℓ = 3

${\begin{aligned}Y_{3}^{-3}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 8}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \quad &&=&&{1 \over 8}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot {(x-iy)^{3} \over r^{3}}&\\Y_{3}^{-2}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot \cos \theta \quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\cdot {(x-iy)^{2}\cdot z \over r^{3}}&\\Y_{3}^{-1}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 8}{\sqrt {21 \over \pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (5\cos ^{2}\theta -1)\quad &&=&&{1 \over 8}{\sqrt {21 \over \pi }}\cdot {(x-iy)\cdot (5z^{2}-r^{2}) \over r^{3}}&\\Y_{3}^{0}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt {7 \over \pi }}\cdot (5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {7 \over \pi }}\cdot {(5z^{3}-3zr^{2}) \over r^{3}}&\\Y_{3}^{1}(\theta ,\varphi )&=&-&{1 \over 8}{\sqrt {21 \over \pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (5\cos ^{2}\theta -1)\quad &&=&&{-1 \over 8}{\sqrt {21 \over \pi }}\cdot {(x+iy)\cdot (5z^{2}-r^{2}) \over r^{3}}&\\Y_{3}^{2}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot \cos \theta \quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\cdot {(x+iy)^{2}\cdot z \over r^{3}}&\\Y_{3}^{3}(\theta ,\varphi )&=&-&{1 \over 8}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \quad &&=&&{-1 \over 8}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot {(x+iy)^{3} \over r^{3}}&\end{aligned}}$

ℓ = 4

${\begin{aligned}Y_{4}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 16}{\sqrt {35 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta ={\frac {3}{16}}{\sqrt {\frac {35}{2\pi }}}\cdot {\frac {(x-iy)^{4}}{r^{4}}}\\Y_{4}^{-3}(\theta ,\varphi )&={3 \over 8}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot \cos \theta ={\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {35}{\pi }}}\cdot {\frac {(x-iy)^{3}z}{r^{4}}}\\Y_{4}^{-2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 8}{\sqrt {5 \over 2\pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (7\cos ^{2}\theta -1)={\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {5}{2\pi }}}\cdot {\frac {(x-iy)^{2}\cdot (7z^{2}-r^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4}^{-1}(\theta ,\varphi )&={3 \over 8}{\sqrt {5 \over \pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )={\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\cdot {\frac {(x-iy)\cdot (7z^{3}-3zr^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4}^{0}(\theta ,\varphi )&={3 \over 16}{\sqrt {1 \over \pi }}\cdot (35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3)={\frac {3}{16}}{\sqrt {\frac {1}{\pi }}}\cdot {\frac {(35z^{4}-30z^{2}r^{2}+3r^{4})}{r^{4}}}\\Y_{4}^{1}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 8}{\sqrt {5 \over \pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )={\frac {-3}{8}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\cdot {\frac {(x+iy)\cdot (7z^{3}-3zr^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4}^{2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 8}{\sqrt {5 \over 2\pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (7\cos ^{2}\theta -1)={\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {5}{2\pi }}}\cdot {\frac {(x+iy)^{2}\cdot (7z^{2}-r^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4}^{3}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 8}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot \cos \theta ={\frac {-3}{8}}{\sqrt {\frac {35}{\pi }}}\cdot {\frac {(x+iy)^{3}z}{r^{4}}}\\Y_{4}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 16}{\sqrt {35 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta ={\frac {3}{16}}{\sqrt {\frac {35}{2\pi }}}\cdot {\frac {(x+iy)^{4}}{r^{4}}}\end{aligned}}$

ℓ = 5

${\begin{aligned}Y_{5}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {77 \over \pi }}\cdot e^{-5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \\Y_{5}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 16}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{5}^{-3}(\theta ,\varphi )&={1 \over 32}{\sqrt {385 \over \pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (9\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{5}^{-2}(\theta ,\varphi )&={1 \over 8}{\sqrt {1155 \over 2\pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (3\cos ^{3}\theta -\cos \theta )\\Y_{5}^{-1}(\theta ,\varphi )&={1 \over 16}{\sqrt {165 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (21\cos ^{4}\theta -14\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{5}^{0}(\theta ,\varphi )&={1 \over 16}{\sqrt {11 \over \pi }}\cdot (63\cos ^{5}\theta -70\cos ^{3}\theta +15\cos \theta )\\Y_{5}^{1}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 16}{\sqrt {165 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (21\cos ^{4}\theta -14\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{5}^{2}(\theta ,\varphi )&={1 \over 8}{\sqrt {1155 \over 2\pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (3\cos ^{3}\theta -\cos \theta )\\Y_{5}^{3}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 32}{\sqrt {385 \over \pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (9\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{5}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 16}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{5}^{5}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 32}{\sqrt {77 \over \pi }}\cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \end{aligned}}$

ℓ = 6

${\begin{aligned}Y_{6}^{-6}(\theta ,\varphi )&={1 \over 64}{\sqrt {3003 \over \pi }}\cdot e^{-6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \\Y_{6}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {1001 \over \pi }}\cdot e^{-5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{6}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {91 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (11\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{6}^{-3}(\theta ,\varphi )&={1 \over 32}{\sqrt {1365 \over \pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (11\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{6}^{-2}(\theta ,\varphi )&={1 \over 64}{\sqrt {1365 \over \pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (33\cos ^{4}\theta -18\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{6}^{-1}(\theta ,\varphi )&={1 \over 16}{\sqrt {273 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (33\cos ^{5}\theta -30\cos ^{3}\theta +5\cos \theta )\\Y_{6}^{0}(\theta ,\varphi )&={1 \over 32}{\sqrt {13 \over \pi }}\cdot (231\cos ^{6}\theta -315\cos ^{4}\theta +105\cos ^{2}\theta -5)\\Y_{6}^{1}(\theta ,\varphi )&=-{1 \over 16}{\sqrt {273 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (33\cos ^{5}\theta -30\cos ^{3}\theta +5\cos \theta )\\Y_{6}^{2}(\theta ,\varphi )&={1 \over 64}{\sqrt {1365 \over \pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (33\cos ^{4}\theta -18\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{6}^{3}(\theta ,\varphi )&=-{1 \over 32}{\sqrt {1365 \over \pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (11\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{6}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {91 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (11\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{6}^{5}(\theta ,\varphi )&=-{3 \over 32}{\sqrt {1001 \over \pi }}\cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{6}^{6}(\theta ,\varphi )&={1 \over 64}{\sqrt {3003 \over \pi }}\cdot e^{6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \end{aligned}}$

ℓ = 7

${\begin{aligned}Y_{7}^{-7}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {715 \over 2\pi }}\cdot e^{-7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \\Y_{7}^{-6}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {5005 \over \pi }}\cdot e^{-6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{7}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{-5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (13\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{7}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (13\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{7}^{-3}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {35 \over 2\pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (143\cos ^{4}\theta -66\cos ^{2}\theta +3)\\Y_{7}^{-2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (143\cos ^{5}\theta -110\cos ^{3}\theta +15\cos \theta )\\Y_{7}^{-1}(\theta ,\varphi )&={1 \over 64}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (429\cos ^{6}\theta -495\cos ^{4}\theta +135\cos ^{2}\theta -5)\\Y_{7}^{0}(\theta ,\varphi )&={1 \over 32}{\sqrt {15 \over \pi }}\cdot (429\cos ^{7}\theta -693\cos ^{5}\theta +315\cos ^{3}\theta -35\cos \theta )\\Y_{7}^{1}(\theta ,\varphi )&=-{1 \over 64}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (429\cos ^{6}\theta -495\cos ^{4}\theta +135\cos ^{2}\theta -5)\\Y_{7}^{2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (143\cos ^{5}\theta -110\cos ^{3}\theta +15\cos \theta )\\Y_{7}^{3}(\theta ,\varphi )&=-{3 \over 64}{\sqrt {35 \over 2\pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (143\cos ^{4}\theta -66\cos ^{2}\theta +3)\\Y_{7}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (13\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{7}^{5}(\theta ,\varphi )&=-{3 \over 64}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (13\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{7}^{6}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {5005 \over \pi }}\cdot e^{6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{7}^{7}(\theta ,\varphi )&=-{3 \over 64}{\sqrt {715 \over 2\pi }}\cdot e^{7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \end{aligned}}$

ℓ = 8

${\begin{aligned}Y_{8}^{-8}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {12155 \over 2\pi }}\cdot e^{-8i\varphi }\cdot \sin ^{8}\theta \\Y_{8}^{-7}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {12155 \over 2\pi }}\cdot e^{-7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{8}^{-6}(\theta ,\varphi )&={1 \over 128}{\sqrt {7293 \over \pi }}\cdot e^{-6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (15\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{8}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {17017 \over 2\pi }}\cdot e^{-5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (5\cos ^{3}\theta -\cos \theta )\\Y_{8}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {1309 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (65\cos ^{4}\theta -26\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{8}^{-3}(\theta ,\varphi )&={1 \over 64}{\sqrt {19635 \over 2\pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (39\cos ^{5}\theta -26\cos ^{3}\theta +3\cos \theta )\\Y_{8}^{-2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {595 \over \pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (143\cos ^{6}\theta -143\cos ^{4}\theta +33\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{8}^{-1}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {17 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (715\cos ^{7}\theta -1001\cos ^{5}\theta +385\cos ^{3}\theta -35\cos \theta )\\Y_{8}^{0}(\theta ,\varphi )&={1 \over 256}{\sqrt {17 \over \pi }}\cdot (6435\cos ^{8}\theta -12012\cos ^{6}\theta +6930\cos ^{4}\theta -1260\cos ^{2}\theta +35)\\Y_{8}^{1}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 64}{\sqrt {17 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (715\cos ^{7}\theta -1001\cos ^{5}\theta +385\cos ^{3}\theta -35\cos \theta )\\Y_{8}^{2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {595 \over \pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (143\cos ^{6}\theta -143\cos ^{4}\theta +33\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{8}^{3}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 64}{\sqrt {19635 \over 2\pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (39\cos ^{5}\theta -26\cos ^{3}\theta +3\cos \theta )\\Y_{8}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {1309 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (65\cos ^{4}\theta -26\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{8}^{5}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 64}{\sqrt {17017 \over 2\pi }}\cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (5\cos ^{3}\theta -\cos \theta )\\Y_{8}^{6}(\theta ,\varphi )&={1 \over 128}{\sqrt {7293 \over \pi }}\cdot e^{6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (15\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{8}^{7}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 64}{\sqrt {12155 \over 2\pi }}\cdot e^{7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{8}^{8}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {12155 \over 2\pi }}\cdot e^{8i\varphi }\cdot \sin ^{8}\theta \end{aligned}}$

ℓ = 9

${\begin{aligned}Y_{9}^{-9}(\theta ,\varphi )&={1 \over 512}{\sqrt {230945 \over \pi }}\cdot e^{-9i\varphi }\cdot \sin ^{9}\theta \\Y_{9}^{-8}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {230945 \over 2\pi }}\cdot e^{-8i\varphi }\cdot \sin ^{8}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{9}^{-7}(\theta ,\varphi )&={3 \over 512}{\sqrt {13585 \over \pi }}\cdot e^{-7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \cdot (17\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{9}^{-6}(\theta ,\varphi )&={1 \over 128}{\sqrt {40755 \over \pi }}\cdot e^{-6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (17\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{9}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {2717 \over \pi }}\cdot e^{-5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (85\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{9}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {95095 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (17\cos ^{5}\theta -10\cos ^{3}\theta +\cos \theta )\\Y_{9}^{-3}(\theta ,\varphi )&={1 \over 256}{\sqrt {21945 \over \pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (221\cos ^{6}\theta -195\cos ^{4}\theta +39\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{9}^{-2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {1045 \over \pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (221\cos ^{7}\theta -273\cos ^{5}\theta +91\cos ^{3}\theta -7\cos \theta )\\Y_{9}^{-1}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {95 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (2431\cos ^{8}\theta -4004\cos ^{6}\theta +2002\cos ^{4}\theta -308\cos ^{2}\theta +7)\\Y_{9}^{0}(\theta ,\varphi )&={1 \over 256}{\sqrt {19 \over \pi }}\cdot (12155\cos ^{9}\theta -25740\cos ^{7}\theta +18018\cos ^{5}\theta -4620\cos ^{3}\theta +315\cos \theta )\\Y_{9}^{1}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 256}{\sqrt {95 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (2431\cos ^{8}\theta -4004\cos ^{6}\theta +2002\cos ^{4}\theta -308\cos ^{2}\theta +7)\\Y_{9}^{2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {1045 \over \pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (221\cos ^{7}\theta -273\cos ^{5}\theta +91\cos ^{3}\theta -7\cos \theta )\\Y_{9}^{3}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 256}{\sqrt {21945 \over \pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (221\cos ^{6}\theta -195\cos ^{4}\theta +39\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{9}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {95095 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (17\cos ^{5}\theta -10\cos ^{3}\theta +\cos \theta )\\Y_{9}^{5}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 256}{\sqrt {2717 \over \pi }}\cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (85\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{9}^{6}(\theta ,\varphi )&={1 \over 128}{\sqrt {40755 \over \pi }}\cdot e^{6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (17\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{9}^{7}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 512}{\sqrt {13585 \over \pi }}\cdot e^{7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \cdot (17\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{9}^{8}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {230945 \over 2\pi }}\cdot e^{8i\varphi }\cdot \sin ^{8}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{9}^{9}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 512}{\sqrt {230945 \over \pi }}\cdot e^{9i\varphi }\cdot \sin ^{9}\theta \end{aligned}}$

ℓ = 10

${\begin{aligned}Y_{10}^{-10}(\theta ,\varphi )&={1 \over 1024}{\sqrt {969969 \over \pi }}\cdot e^{-10i\varphi }\cdot \sin ^{10}\theta \\Y_{10}^{-9}(\theta ,\varphi )&={1 \over 512}{\sqrt {4849845 \over \pi }}\cdot e^{-9i\varphi }\cdot \sin ^{9}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{10}^{-8}(\theta ,\varphi )&={1 \over 512}{\sqrt {255255 \over 2\pi }}\cdot e^{-8i\varphi }\cdot \sin ^{8}\theta \cdot (19\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{10}^{-7}(\theta ,\varphi )&={3 \over 512}{\sqrt {85085 \over \pi }}\cdot e^{-7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \cdot (19\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{10}^{-6}(\theta ,\varphi )&={3 \over 1024}{\sqrt {5005 \over \pi }}\cdot e^{-6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (323\cos ^{4}\theta -102\cos ^{2}\theta +3)\\Y_{10}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {1001 \over \pi }}\cdot e^{-5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (323\cos ^{5}\theta -170\cos ^{3}\theta +15\cos \theta )\\Y_{10}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {5005 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (323\cos ^{6}\theta -255\cos ^{4}\theta +45\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{10}^{-3}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {5005 \over \pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (323\cos ^{7}\theta -357\cos ^{5}\theta +105\cos ^{3}\theta -7\cos \theta )\\Y_{10}^{-2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 512}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (4199\cos ^{8}\theta -6188\cos ^{6}\theta +2730\cos ^{4}\theta -364\cos ^{2}\theta +7)\\Y_{10}^{-1}(\theta ,\varphi )&={1 \over 256}{\sqrt {1155 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (4199\cos ^{9}\theta -7956\cos ^{7}\theta +4914\cos ^{5}\theta -1092\cos ^{3}\theta +63\cos \theta )\\Y_{10}^{0}(\theta ,\varphi )&={1 \over 512}{\sqrt {21 \over \pi }}\cdot (46189\cos ^{10}\theta -109395\cos ^{8}\theta +90090\cos ^{6}\theta -30030\cos ^{4}\theta +3465\cos ^{2}\theta -63)\\Y_{10}^{1}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 256}{\sqrt {1155 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (4199\cos ^{9}\theta -7956\cos ^{7}\theta +4914\cos ^{5}\theta -1092\cos ^{3}\theta +63\cos \theta )\\Y_{10}^{2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 512}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (4199\cos ^{8}\theta -6188\cos ^{6}\theta +2730\cos ^{4}\theta -364\cos ^{2}\theta +7)\\Y_{10}^{3}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 256}{\sqrt {5005 \over \pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (323\cos ^{7}\theta -357\cos ^{5}\theta +105\cos ^{3}\theta -7\cos \theta )\\Y_{10}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {5005 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (323\cos ^{6}\theta -255\cos ^{4}\theta +45\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{10}^{5}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 256}{\sqrt {1001 \over \pi }}\cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (323\cos ^{5}\theta -170\cos ^{3}\theta +15\cos \theta )\\Y_{10}^{6}(\theta ,\varphi )&={3 \over 1024}{\sqrt {5005 \over \pi }}\cdot e^{6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (323\cos ^{4}\theta -102\cos ^{2}\theta +3)\\Y_{10}^{7}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 512}{\sqrt {85085 \over \pi }}\cdot e^{7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \cdot (19\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{10}^{8}(\theta ,\varphi )&={1 \over 512}{\sqrt {255255 \over 2\pi }}\cdot e^{8i\varphi }\cdot \sin ^{8}\theta \cdot (19\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{10}^{9}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 512}{\sqrt {4849845 \over \pi }}\cdot e^{9i\varphi }\cdot \sin ^{9}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{10}^{10}(\theta ,\varphi )&={1 \over 1024}{\sqrt {969969 \over \pi }}\cdot e^{10i\varphi }\cdot \sin ^{10}\theta \end{aligned}}$

Візуалізація комплекснозначних сферичних гармонік

2D карти полярних/азимутальних кутів

Нижче комплекснозначні сферичні гармоніки представлені на 2D графіках з азимутальним кутом, $\varphi$ , по горизонтальній осі та полярним кутом, $\theta$ , відкладеним по вертикальній осі. Насиченість кольору в будь-якій точці відповідає амплітуді сферичної гармоніки, а сам колір представляє собою фазу.

На сфері

Нижче комплексні сферичні гармоніки представлені у вигляді двовимірної карти на сфері. Величина сферичної гармоніки при певних полярних і азимутальних кутах представлена насиченістю кольору в цій точці, а фаза представлена кольором у цій точці.

Графіки на сфері з амплітудою гармоніки як відстанню від центру сфери

Нижче на графіках амплітуді сферичної гармоніки під конкретним полярним і азимутальним кутами відповідає відстань від центру умовної сфери (радіус), а фазі гармоніки відповідає колір у цій точці.

Дійсні сферичні гармоніки

Для кожної дійсної сферичної гармоніки також наведено відповідний атомний орбітальний символ (s, p, d, f).^[2]^[3]

Для ℓ = 0, …, 3 див. також^[4]^[5]

ℓ = 0

$Y_{00}=s=Y_{0}^{0}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{\pi }}}$

ℓ = 1

${\begin{aligned}Y_{1,-1}&=p_{y}=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{1}^{-1}+Y_{1}^{1}\right)={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cdot {\frac {y}{r}}\\Y_{1,0}&=p_{z}=Y_{1}^{0}={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cdot {\frac {z}{r}}\\Y_{1,1}&=p_{x}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{1}^{-1}-Y_{1}^{1}\right)={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cdot {\frac {x}{r}}\end{aligned}}$

ℓ = 2

${\begin{aligned}Y_{2,-2}&=d_{xy}=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{2}^{-2}-Y_{2}^{2}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{\pi }}}\cdot {\frac {xy}{r^{2}}}\\Y_{2,-1}&=d_{yz}=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{2}^{-1}+Y_{2}^{1}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{\pi }}}\cdot {\frac {y\cdot z}{r^{2}}}\\Y_{2,0}&=d_{z^{2}}=Y_{2}^{0}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\cdot {\frac {3z^{2}-r^{2}}{r^{2}}}\\Y_{2,1}&=d_{xz}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{2}^{-1}-Y_{2}^{1}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{\pi }}}\cdot {\frac {x\cdot z}{r^{2}}}\\Y_{2,2}&=d_{x^{2}-y^{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{2}^{-2}+Y_{2}^{2}\right)={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{\pi }}}\cdot {\frac {x^{2}-y^{2}}{r^{2}}}\end{aligned}}$

ℓ = 3

${\begin{aligned}Y_{3,-3}&=f_{y(3x^{2}-y^{2})}=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{3}^{-3}+Y_{3}^{3}\right)={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {35}{2\pi }}}\cdot {\frac {y\left(3x^{2}-y^{2}\right)}{r^{3}}}\\Y_{3,-2}&=f_{xyz}=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{3}^{-2}-Y_{3}^{2}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {105}{\pi }}}\cdot {\frac {xy\cdot z}{r^{3}}}\\Y_{3,-1}&=f_{yz^{2}}=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{3}^{-1}+Y_{3}^{1}\right)={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {21}{2\pi }}}\cdot {\frac {y\cdot (5z^{2}-r^{2})}{r^{3}}}\\Y_{3,0}&=f_{z^{3}}=Y_{3}^{0}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {7}{\pi }}}\cdot {\frac {5z^{3}-3zr^{2}}{r^{3}}}\\Y_{3,1}&=f_{xz^{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{3}^{-1}-Y_{3}^{1}\right)={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {21}{2\pi }}}\cdot {\frac {x\cdot (5z^{2}-r^{2})}{r^{3}}}\\Y_{3,2}&=f_{z(x^{2}-y^{2})}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{3}^{-2}+Y_{3}^{2}\right)={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {105}{\pi }}}\cdot {\frac {\left(x^{2}-y^{2}\right)\cdot z}{r^{3}}}\\Y_{3,3}&=f_{x(x^{2}-3y^{2})}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{3}^{-3}-Y_{3}^{3}\right)={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {35}{2\pi }}}\cdot {\frac {x\left(x^{2}-3y^{2}\right)}{r^{3}}}\end{aligned}}$

ℓ = 4

${\begin{aligned}Y_{4,-4}&=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{4}^{-4}-Y_{4}^{4}\right)={\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {35}{\pi }}}\cdot {\frac {xy\left(x^{2}-y^{2}\right)}{r^{4}}}\\Y_{4,-3}&=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{4}^{-3}+Y_{4}^{3}\right)={\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {35}{2\pi }}}\cdot {\frac {y(3x^{2}-y^{2})\cdot z}{r^{4}}}\\Y_{4,-2}&=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{4}^{-2}-Y_{4}^{2}\right)={\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\cdot {\frac {xy\cdot (7z^{2}-r^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4,-1}&=i{\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{4}^{-1}+Y_{4}^{1}\right)={\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {5}{2\pi }}}\cdot {\frac {y\cdot (7z^{3}-3zr^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4,0}&=Y_{4}^{0}={\frac {3}{16}}{\sqrt {\frac {1}{\pi }}}\cdot {\frac {35z^{4}-30z^{2}r^{2}+3r^{4}}{r^{4}}}\\Y_{4,1}&={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{4}^{-1}-Y_{4}^{1}\right)={\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {5}{2\pi }}}\cdot {\frac {x\cdot (7z^{3}-3zr^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4,2}&={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{4}^{-2}+Y_{4}^{2}\right)={\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\cdot {\frac {(x^{2}-y^{2})\cdot (7z^{2}-r^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4,3}&={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{4}^{-3}-Y_{4}^{3}\right)={\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {35}{2\pi }}}\cdot {\frac {x(x^{2}-3y^{2})\cdot z}{r^{4}}}\\Y_{4,4}&={\sqrt {\frac {1}{2}}}\left(Y_{4}^{-4}+Y_{4}^{4}\right)={\frac {3}{16}}{\sqrt {\frac {35}{\pi }}}\cdot {\frac {x^{2}\left(x^{2}-3y^{2}\right)-y^{2}\left(3x^{2}-y^{2}\right)}{r^{4}}}\\{}\end{aligned}}$

Візуалізація дійсних сферичних гармонік

2D карти полярних/азимутальних кутів

Нижче дійснозначні сферичні гармоніки представлені на 2D графіках з азимутальним кутом, $\varphi$ , на горизонтальній осі та полярному куті, $\theta$ , на вертикальній осі. Насиченість кольору в будь-якій точці відповідає значенню амплітуди сферичної гармоніки, а сам колір — фазі.

Графіки на сфері

Нижче дійсні сферичні гармоніки зображені на сфері. Амплітуді сферичної гармоніки при певних полярних і азимутальних кутах відповідає насиченість кольору в цій точці, а фаза — кольору у цій точці.

Графіки на сфері з амплітудою як радіусом

Нижче дійсні сферичні гармоніки зображені на сфері, причому амплітуді сферичної гармоніки під конкретним полярним і азимутальним кутами відповідає відстань від центру умовної сфери, а фаза зображена кольором у цій точці.

Графіки на сфері з амплітудою як висотою на поверхні сфери

Нижче дійсні сферичні гармоніки представлені на сфері, де амплітуді сферичної гармоніки (величині і знаку) під певним полярним і азимутальним кутом відповідає висота графіка в цій точці відносно поверхні сфери фіксованого радіуса (над або під поверхнею сфери в залежності від знаку амплітуди). Додатково амплітуді відповідає насиченість кольору в даній точці. Фаза зображена кольором.

Див. також

Сферичні гармоніки

Посилання

Список літератури

Цитована література

↑ D. A. Varshalovich; A. N. Moskalev; V. K. Khersonskii (1988). Quantum theory of angular momentum : irreducible tensors, spherical harmonics, vector coupling coefficients, 3nj symbols (вид. 1. repr.). Singapore: World Scientific Pub. с. 155—156. ISBN 9971-50-107-4.
↑ Petrucci (2016). General chemistry : principles and modern applications. [Place of publication not identified]: Prentice Hall. ISBN 0133897311.
↑ Friedman (1964). The shapes of the f orbitals. J. Chem. Educ. 41 (7): 354.
↑ C.D.H. Chisholm (1976). Group theoretical techniques in quantum chemistry. New York: Academic Press. ISBN 0-12-172950-8.
↑ Blanco, Miguel A.; Flórez, M.; Bermejo, M. (1 грудня 1997). Evaluation of the rotation matrices in the basis of real spherical harmonics. Journal of Molecular Structure: THEOCHEM. 419 (1–3): 19—27. doi:10.1016/S0166-1280(97)00185-1.

Загальні довідники

Дивіться розділ 3 в Mathar, R. J. (2009). Zernike basis to cartesian transformations. Serbian Astronomical Journal. 179 (179): 107—120. arXiv:0809.2368. Bibcode:2009SerAJ.179..107M. doi:10.2298/SAJ0979107M. «Базис Церніке до декартових перетворень». Сербський астрономічний журнал . 179 (179): 107—120. arXiv : 0809.2368 . Bibcode: 2009SerAJ.179..107M . doi : 10.2298/SAJ0979107M . (див. розділ 3.3)
Для складних сферичних гармонік див. також SphericalHarmonicY[l, m,theta, phi ] у Wolfram Alpha, для конкретних значень l і m.