Сферична система координат

Ця стаття має кілька недоліків. Будь ласка, допоможіть удосконалити її або обговоріть ці проблеми на сторінці обговорення. Ця стаття потребує додаткових посилань на джерела для поліпшення її перевірності. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, додавши посилання на надійні (авторитетні) джерела. Зверніться на сторінку обговорення за поясненнями та допоможіть виправити недоліки. Матеріал без джерел може бути піддано сумніву та вилучено. (травень 2025) Ця стаття містить перелік джерел, але походження окремих тверджень у ній залишається незрозумілим через практично повну відсутність виносок. Будь ласка, допоможіть поліпшити цю статтю, додайте виноски з посиланнями на відповідні джерела до тексту статті. (травень 2025)

Сферичними координатами називають систему координат для відображення геометричних властивостей фігури в трьох вимірах за допомогою задання трьох координат ${\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}$, де ${\displaystyle r}$ — відстань до початку координат, а ${\displaystyle \theta }$ і ${\displaystyle \varphi }$ — зенітний та азимутальний кути відповідно.

Поняття зеніт і азимут широко використовують в астрономії. Взагалі зеніт — це напрямок вертикального підйому над довільно обраним пунктом (точкою спостереження), що належить до так званої фундаментальної площини(інші мови). За фундаментальну площину в астрономії можуть обирати площину, в якій лежить екватор, площину, в якій лежить горизонт, площину екліптики тощо, що породжує різні системи небесних координат. Азимут — кут між довільно обраним променем фундаментальної площини з початком в точці спостереження та іншим променем цій площині, які мають загальний початок з першим.

На наведеному рисунку сферичної системи координат, фундаментальна площина — це площина xy. Зеніт — якась віддалена точка, що лежить на осі Z і видима з початку координат. Азимут відраховують від осі X до проєкції радіус-вектора r на площину xy. Це пояснює назви кутів, як і те, що сферична система координат може слугувати узагальненням (нехай хоча б і наближеним) безлічі різновидів систем небесних координат.

Три координати ${\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi )}$ визначені як:

• ${\displaystyle r\geqslant 0}$ — відстань від початку координат до заданої точки ${\displaystyle P}$.
• ${\displaystyle 0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }}$ — кут між віссю ${\displaystyle Z}$ і відрізком, що з'єднує початок системи координат і точку ${\displaystyle P}$.
• ${\displaystyle 0\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }}$ — кут між віссю ${\displaystyle X}$ і проєкцією відрізку, що з'єднує початок координат з точкою ${\displaystyle P}$, на площині ${\displaystyle XY}$.

Кут ${\displaystyle \theta }$ називають зенітним, або полярним, або нормальним, англ. colatitude, а кут ${\displaystyle \varphi }$ — азимутальним. Кути ${\displaystyle \theta }$ і ${\displaystyle \varphi }$ не мають значення при ${\displaystyle r=0}$, а ${\displaystyle \varphi }$ не має значення при ${\displaystyle \sin(\theta )=0}$ (тобто при ${\displaystyle \theta =0}$ або ${\displaystyle \theta =180^{\circ }}$).

Залежно чи незалежно від стандарту (ISO 31-11(інші мови)), існує і така угода щодо позначень, коли замість зенітного кута ${\displaystyle \theta }$, використовують кут між проєкцією радіус-вектора точки r на площину xy і самим радіус-вектором r, що дорівнює ${\displaystyle 90^{\circ }}$ — ${\displaystyle \theta }$. Його називають кутом підйому і можуть позначувати тією ж буквою ${\displaystyle \theta }$. В цьому випадку він змінюватиметься в межах ${\displaystyle -90^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }}$.

Тоді кути ${\displaystyle \theta }$ і ${\displaystyle \varphi }$ не мають значення при ${\displaystyle r=0}$, так само як і в першому випадку, а ${\displaystyle \varphi }$ не має значення при ${\displaystyle \sin(\theta )=0}$, так само як і в попередньому випадку, (але вже при ${\displaystyle \theta =-90^{\circ }}$ або ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$).

• Декартова система координат
  • Від сферичних до декартових:

    ${\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \varphi \sin \theta ,\\y=r\sin \varphi \sin \theta ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}$

  • Від декартових до сферичних:

    ${\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta =\arccos \left({\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)=\mathrm {arctg} \left({\dfrac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\right),\\\varphi =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {y}{x}}\right).\end{cases}}}$

    • (тут, звісно, потрібне уточнення для значень ${\displaystyle \varphi }$ поза першим квадрантом; те ж саме для всіх формул з арктангенсом тут і нижче; однак, заміна відповідною формулою з арккосинусом знімає це питання по відношення до координати ${\displaystyle \theta }$).
  • Модуль якобіана перетворення від сферичних до декартових координат:

    ${\displaystyle |J|=r^{2}\sin \theta .}$

• Циліндрична система координат
  • Від сферичних до циліндричних:

    ${\displaystyle {\begin{cases}\rho =r\sin \theta ,\\\varphi =\varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}$

  • Від циліндричних до сферичних:

    ${\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta =\mathrm {arctg} \left({\dfrac {\rho }{z}}\right),\\\varphi =\varphi .\end{cases}}}$

  • Модуль якобіану перетворення від сферичних до циліндричних координат:

    ${\displaystyle |J|=r.}$

Сферичні координати ортогональні, тому метричний тензор набуває діагонального вигляду:

${\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\dfrac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\end{pmatrix}}}$

• ${\displaystyle \det(g_{ij})=r^{4}\sin ^{2}\theta .\ }$
• Квадрат диференціала довжини дуги:

${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.}$

• Коефіцієнти Ляме:

${\displaystyle H_{r}=1,\quad H_{\theta }=r,\quad H_{\varphi }=r\sin \theta .}$

• Символи Крістофеля ${\displaystyle \{r,\;\theta ,\;\varphi \}}$:

${\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-r,\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta ,}$

${\displaystyle \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}},}$

${\displaystyle \Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta ,\quad \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=-\mathrm {ctg} \,\theta .}$

Інші дорівнюють нулю.

• Системи небесних координат
• Полярна система координат
• Циліндрична система координат
• Декартова система координат

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)

• Weisstein, Eric W. Сферичні координати(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.