Спряжений оператор

Спря́жений оператор — одне з важливих понять в функціональному аналізі.

Означення

Нехай $A:E_{1}\to E_{2}$ — лінійний неперервний оператор, що відображає нормований простір $E_{1}$ в нормований простір $E_{2}$ . Тоді спряженим оператором оператору $A$ називається таке відображення $A^{*}:E_{2}^{*}\to E_{1}^{*}$ спряжених просторів, що діє згідно з правилом:

$(A^{*}f)(x)=f(Ax)(\forall f\in E_{2}^{*},\forall x\in E_{1}).$

Рівності можна надати більш виразної форми, якщо значення $\phi (x)$ функціонала $\phi \in E^{*}$ на елементі $x\in E$ записувати у вигляді $\left\langle x,\phi \right\rangle$ . Тоді спряжений оператор $A^{*}$ визначається рівністю

$\left\langle x,A^{*}f\right\rangle =\left\langle Ax,f\right\rangle (\forall f\in E_{2}^{*},\forall x\in E_{1}).$

Гільбертів простір

Відмітимо, що, згідно з теоремою Ріса про загальний вигляд лінійного неперервного функціоналу, заданого на гільбертовому просторі $H$ , оператор $A^{*}:H\to H$ , спряжений до лінійного неперервного оператора $A:H\to H$ , визначається за допомогою рівності

$(x,A^{*}y)=(Ax,y)(\forall x,y\in H),$

що збігається в такому випадку з рівністю, якою визначається спряжений оператор.

В гільбертовому просторі найцікавішими є ті оператори, що рівні своїм спряженим: $A^{*}=A$ , так звані самоспряжені оператори. Таким чином, оператор $A\in {\mathcal {L}}(H)$ називається самоспряженим, якщо $(Ax,y)=(x,Ay)$ для довільних елементів $x$ і $y$ гільбертового простору $H$ . Для самоспряженого оператора $A:H\to H$ справедлива рівність $\lVert A\rVert =\sup _{\lVert x\rVert \leq 1}|(Ax,x)|$ .