Сферична теорема синусів

Доведення за допомогою проєкцій.^[1]. На малюнку показано сферичний трикутник ABC на сфері радіуса R із центром у точці O. BP — перпендикуляр до площини великого кола, яке проходить через сторону b, BM — перпендикуляр до OC, BN — перпендикуляр до OA. За твердженням, оберненим до теореми про три перпендикуляри, PM — перпендикуляр до OC, PN — перпендикуляр до OA. Зауважимо, що кут PMB дорівнює π — C, крім того, BN = R sin c і BM = R sin a. Далі, проєктуємо BN і BM на BP, маємо:

${\displaystyle BP=BN\sin \angle BNP=R\sin c\sin A,}$

${\displaystyle BP=BM\sin \angle PMB=R\sin a\sin(\pi -C)=R\sin a\sin C,}$

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin c}{\sin C}}}$

Аналогічно отримуємо другу рівність.

Доказ, що спирається на вже доведені співвідношення між сторонами та кутами прямокутного сферичного трикутника. Опустимо з вершини C перпендикуляр CD = h на сторону с або її продовження. Виразимо h двома способами з виниклих при цьому прямокутних трикутників ACD і BCD:

${\displaystyle \sin h=\sin b\sin A=\sin a\sin B.}$

Звідси отримуємо пропорцію

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}},}$