Теорема Вейля про рівномірний розподіл

Теорема Вейля про рівномірний розподіл формулює критерій рівномірної розподіленості нескінченної послідовності дійсних чисел із відрізка $(0;1)$ .

Теорему довів 1914 року і опублікував 1916 року Герман Вейль^[1].

Визначення

Нехай $\xi _{1},\xi _{2},\dots$ — нескінченна послідовність дійсних чисел з інтервалу $(0;1)$ .

Для чисел $a,b\in (0;1),\ a<b$ позначимо через $\varphi _{n}(a,b)=\#\left\lbrace {k:1\leq k\leq n,\xi _{k}\in (a;b)}\right\rbrace$ кількість чисел з $\xi _{1},\dots ,\xi _{n}$ , що лежать у відрізку $(a;b)$ .

Визначимо граничне найбільше відхилення як $D_{\xi }=\lim \sup _{n\to \infty }{\left({{\frac {\varphi _{n}(a,b)}{n}}-(b-a)}\right)}$ .

Послідовність $\xi _{1},\xi _{2},\dots$ називається рівномірно розподіленою в $(0;1)$ , якщо $D_{\xi }=0$ . Іншими словами, послідовність рівномірно розподілена в $(0;1)$ якщо в будь-якому ненульовому відрізку частка елементів, що потрапляють у цей відрізок, прямує до частки розміру відрізка в $(0;1)$ .

Формулювання теореми

Послідовність $\left({\xi _{n}}\right)_{n=1}^{\infty },\xi _{n}\in (0;1)$ рівномірно розподілена в $(0;1)$ тоді й лише тоді, коли для будь-якої інтегровної за Ріманом на відрізку $(0;1)$ функції $f$ виконується тотожність:

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}}=\int \limits _{0}^{1}{f(x)dx}

Доведення

Очевидно, що твердження про рівномірну розподіленість еквівалентне виконанню тотожності для кусково-сталих функцій вигляду $f(x)=\left\lbrace {\begin{matrix}1,x\in (a;b)\\0,x\not \in (a;b)\end{matrix}}\right.$ . Це зразу забезпечує слідування рівномірності з виконання тотожності для всіх функцій.

Більш того, в разі рівномірної розподіленості послідовності, за допомогою композиції таких функцій та відповідних множень (на сталу) та додавань границь та інтегралів можна довести виконання тотожності для будь-якої кусково-сталої функції.

Оскільки будь-яку інтегровну за Ріманом функцію $f$ можна з точністю до величини інтегралу $\varepsilon =\int _{0}^{1}{|f(x)-f_{1}(x)|dx}$ апроксимувати кусково-сталою функцією $f_{1}$ (причому такою, що $\forall x:\ |f_{1}(x)-f(x)|<\varepsilon$ ) для $\varepsilon >0$ , то

{\Bigg |}{\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1}(\xi _{k})}}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}={\Bigg |}{\int _{0}^{1}{f_{1}(x)dx}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<\varepsilon

\exists N:\ \forall n>N:\ {\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1}(\xi _{k})}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<2\varepsilon

Оскільки за визначенням $f_{1}$ випливає ${\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}-{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f_{1}(\xi _{k})}}{\Bigg |}={\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{(f(\xi _{k})-f_{1}(\xi _{k}))}}{\Bigg |}<{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{|f(\xi _{k})-f_{1}(\xi _{k})}|<\varepsilon$ , то для достатньо великих $n$ буде виконано

{\Bigg |}{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}-\int _{0}^{1}{f(x)dx}}{\Bigg |}<\varepsilon

,

Бо в ці міркування можна підставити як завгодно мале $\varepsilon >0$ , то це й означає, що

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{f(\xi _{k})}}=\int _{0}^{1}{f(x)dx}

Наслідки

Критерій із тригонометричними сумами

Теорема Вейля дозволяє вивести прямий зв'язок рівномірності розподілу з тригонометричними сумами.

Послідовність $\left({\xi _{n}}\right)_{n=1}^{\infty },\xi _{n}\in (0;1)$ рівномірно розподілена в $(0;1)$ тоді й лише тоді, коли для будь-якого цілого $m\not =0$ виконується

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi m\xi _{k}i}}}=0

Доведення останнього твердження проводиться аналогічно доведенню основної теореми (див. вище), тільки замість апроксимації кусково-лінійною функцією використовується апроксимація частковими сумами ряду Фур'є.

Стала $0$ у формулі фактично є значенням інтегралу $\int \limits _{0}^{1}{e^{2\pi mxi}dx}=0$ .

Дробові частини від кратних ірраціональних

Завдяки формулюванню теореми, яка використовує тригонометричні суми, легко вивести такий результат:

Позначимо через $\left\lbrace {x}\right\rbrace$ дробову частину числа $x$

Якщо $\xi \in {\mathbb {R} }$ — ірраціональне число, то послідовність $\left\lbrace {\xi }\right\rbrace ,\left\lbrace {2\xi }\right\rbrace ,\left\lbrace {3\xi }\right\rbrace ,\dots ,\left\lbrace {n\xi }\right\rbrace ,\dots$ рівномірно розподілена в $(0;1)$ .

Доведення

Для доведення через критерій рівномірності в тригонометричній формі достатньо оцінити модуль тригонометричної суми при ірраціональному $\xi _{k}=k\xi$ і цілому $m\not =0$ . Для цього можна скористатися найпростішою формулою суми геометричної прогресії.

{\Bigg \vert }{\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi mk\xi }}}{\Bigg \vert }={\Bigg \vert }{\frac {e^{2\pi m\xi }-e^{2\pi m(n+1)\xi }}{1-e^{2\pi m\xi }}}{\Bigg \vert }={\frac {\vert {e^{2\pi m\xi }-e^{2\pi m(n+1)\xi }}\vert }{\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert }}<{\frac {2}{\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert }}

Оскільки величина $\vert {e^{2\pi m\xi }-1}\vert$ не залежить від $n$ , то при кожному окремому фіксованому $m\not =0$ з нерівності вище випливає

\lim \limits _{n\to \infty }{{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{e^{2\pi mk\xi i}}}=0

Література

Кейперс Л., Нидеррайтер Г. Равномерное распределение последовательностей. — М. : Наука, 1985. — 408 с.
Касселс Дж.В.С. Введение в теорию диофантовых приближений. — М. : Издательство иностранной литературы, 1961. — 213 с.