Теорема Дарбу в математичному аналізі

Теорема Дарбу — теорема в математичному аналізі, що стверджує — якщо деяка функція на замкнутому відрізку є похідною іншої функції, то на цьому відрізку вона набуває усіх проміжних значень між значеннями на краях відрізка. Теорема названа на честь французького математика Жана Гастона Дарбу^[1].

У випадку, якщо похідна є неперервною, дане твердження є наслідком теореми Больцано-Коші. Проте теорема Дарбу справедлива навіть якщо похідна не є неперервною.

Нехай ${\displaystyle I}$ — відкритий інтервал, ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ — дійсна диференційована функція. Тоді ${\displaystyle f'}$ володіє властивістю середнього значення: якщо ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ — точки, що належать ${\displaystyle I}$ і ${\displaystyle a\leq b}$, для кожного дійсного числа ${\displaystyle k,}$ такого що ${\displaystyle f'(a)\leqslant k\leqslant f'(b),\,}$ існує ${\displaystyle c\in [a,b]}$ для якого ${\displaystyle f'(c)=k.}$

Розглянемо функцію ${\displaystyle g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ визначену як

${\displaystyle \forall x\in [a,b],\ g(x)=f(x)-xk}$

де ${\displaystyle k}$ є дійсним числом, що знаходиться строго між ${\displaystyle \scriptstyle f'(a)}$ і ${\displaystyle \scriptstyle f'(b)}$.

Функція ${\displaystyle g}$ є диференційованою на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ і

${\displaystyle \forall x\in [a,b],\ g'(x)=f'(x)-k}$

Зокрема, ${\displaystyle \scriptstyle g'(a)=f'(a)-k}$ і ${\displaystyle \scriptstyle g'(b)=f'(b)-k}$, тому ${\displaystyle \scriptstyle g'(a)<0}$ і ${\displaystyle \scriptstyle g'(b)>0}$ згідно з визначенням ${\displaystyle k}$.

Функція ${\displaystyle g}$ є неперервною на ${\displaystyle [a,b]}$ отже досягає на ньому мінімуму (друга теорема Вейєрштрасса).

Функція ${\displaystyle g}$ не досягає мінімуму в точці ${\displaystyle a}$, оскільки тоді для всіх ${\displaystyle x\in (a,b]}$ :

${\displaystyle {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\geq 0}$

і взявши границю коли ${\displaystyle x}$ прямує до ${\displaystyle a}$, одержуємо ${\displaystyle \scriptstyle g'(a)\geqslant 0}$, що неможливо. Так само мінімум неможливий у точці ${\displaystyle b}$ оскільки звідси випливало б ${\displaystyle \scriptstyle g'(b)\leqslant 0}$.

Отже мінімум досягається в точці, що є внутрішньою у відрізку ${\displaystyle c\in (a,b)}$ . Тоді згідно з теоремою Ферма ${\displaystyle g'(c)=0\,}$, звідки ${\displaystyle f'(c)=k\,}$.

• Теорема Больцано-Коші
• Теорема Ролля

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)