Теорія представлень

Ця стаття містить правописні, лексичні, граматичні, стилістичні або інші мовні помилки, які треба виправити. Ви можете допомогти вдосконалити цю статтю, погодивши її із чинними мовними стандартами. (квітень 2020)

Тео́рія предста́влень (також тео́рія зобра́жень) груп  (англ. representation theory) — це розділ математики, що вивчає абстрактні алгебраїчні структури, представляючи їх елементи як лінійні відображення векторних просторів, і вивчає модулі над цими абстрактними алгебраїчними структурами.^[1] По суті, представлення робить абстрактний алгебраїчний об'єкт більш конкретним, описуючи його елементи за допомогою матриць і алгебраїчних операцій у термінах додавання матриць та множення матриць. До алгебраїчних об'єктів до яких було застосоване подібне описання відносяться групи, асоціативні алгебри та алгебри Лі. Найвидатнішими з них (і історично першими) є представлення теорії груп, в якій елементи групи представлені невиродженими матрицями таким чином, що операцією групи є множення матриць.^[2]

Залежно від представленої групи розрізняють розділи теорії представлень:

• Скінченні групи — див. Теорія представлень скінченних груп^[en].
• Топологічні групи — деякі побудови для представлень скінченних груп можна узагальнити й для нескінченних груп. Для локально компактних топологічних груп це можна зробити за допомогою міри Хаара. На результуючій теорії багато в чому ґрунтується гармонічний аналіз, а також сучасний виклад загальної теорії Фур'є.
• Групи Лі — багато груп Лі є компактними. Відповідно до них можна застосувати теорію представлень компактних груп. Див Теорія представлень груп Лі^[en].

• Юрій Дрозд. Вступ до теорії зображень [Архівовано 16 листопада 2021 у Wayback Machine.]. Інститут математики НАН України, [без року]. — 67 с.
• Нессонов М. І. [Архівовано 16 листопада 2021 у Wayback Machine.] Основи теорії зображень [Архівовано 16 листопада 2021 у Wayback Machine.] (силлабус). Фізико-технічний інститут низьких температур імені Б. І. Вєркіна НАН України, 2020. — 9 с.
• Пилипів В. М. Теорія представлень груп та її застосування (навчальний посібник). — Івано-Франківськ: ВДВ ЦІТ Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника, 2008. - 156с.

• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6, ISBN 978-0-387-97495-8.
• Alperin, J. L. (1986), Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44926-7.
• Bargmann, V. (1947), «Irreducible unitary representations of the Lorenz group», Annals of Mathematics 48 (3): 568—640, doi:10.2307/1969129, JSTOR 1969129.
• Borel, Armand (2001), Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5.

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.