Теорема Енна В Евклідовій геометрії Теорема Енна [1] описує рівність певних площ у опуклому чотирикутнику. Названа на честь французького математика П'єра-Леона Анна (Енна) (1806—1850). ОписВ теоремі зазначено: [1], [2] [3], Нехай ABCD — опуклий чотирикутник з діагоналями AC і BD, який не є паралелограмом. Точки E, F — середини цих діагоналей, а L — довільна точка всередині ABCD. Якщо сполучити L з вершинами чотирикутника, утвориться чотири трикутники ALB, BLC, CLD та DLA. Якщо дві суми площ протилежних трикутників рівні, тоді точка L знаходиться на прямій Ньютона, тобто лінії, яка з'єднує E і F. Існує багато доказів цієї теореми. Наступний доказ належить австралійському математику Безілу Ренні. [2] Доведення  Нехай L(x, y) — довільна точка де-якого геометричного місця в будь-якій зручній декартовій системі відліку, пов'язаній з чотирикутником. Тепер, площі трикутників з нерухомою основою і рухомою вершиною (x, y), є лінійними функціями від координат x та y (що визначають висоти цих трикутників). Якщо вершина спільна для двох трикутників, їх загальна площа все одно є лінійною функцією координат рухомої вершини. Таким чином, умова, що визначає геометричне місце точок L, задається лінійним рівнянням. Відповідно, геометричне місце має бути обмежене деякою прямою. А оскільки медіана трикутника ділить його площу навпіл, то чітко видно, що середини діагоналей ABCD лежать на даному геометричному місці, з чого випливає висновок: дане геометричне місце — пряма, що сполучає середини діагоналей чотирикутника.{{{footer}}} Отже, згідно теореми Енна: SΔBCL+SΔDAL=SΔLAB+SΔDLC, якщо точка L знаходиться на прямій Ньютона, тобто лінії, яка з'єднує середини діагоналей E і F чотирикутника. Прямої Ньютона не існує для паралелограма, оскільки його діагоналі діляться навпіл точкою перетину. А тотожність площ виконується для будь-якої внутрішньої точки паралелограма. Для описаного чотирикутника, теорема Ньютона є прямим наслідком теореми Енна. [3] Теорема Енна є оборотною. [1] Тобто якщо точка лежить на відрізку лінії Ньютона, що знаходиться всередині чотирикутника, то виконується рівність сум площ зазначених трикутників. Примітки
Джерела
Посилання
|
Portal di Ensiklopedia Dunia
