Теорема Островського

В теорії чисел, теорема Островського, дає класифікацію всіх абсолютних значень на полі раціональних чисел. Окрім того теоремою Островського також називають пов'язані результати для довільних числових полів і про архімедові абсолютні значення для довільного поля чи тіла.

Абсолютні значення ${\displaystyle |\cdot |}$ і ${\displaystyle |\cdot |_{\ast }}$ на полі K є еквівалентними якщо існує додатне дійсне число c > 0 таке що

${\displaystyle |x|_{\ast }=|x|^{c}{\text{ for all }}x\in \mathbf {K} .}$

Тривіальним абсолютним значенням на полі K є абсолютне значення

${\displaystyle |x|_{0}:={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0,\\1,&{\text{if }}x\neq 0.\end{cases}}}$

Дійсним абсолютним значенням на полі раціональних чисел Q є стандартний модуль числа тобто

${\displaystyle |x|_{\infty }:={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$

Для простого числа p, p-адичне абсолютне значення на Q можна задати в такий спосіб: довільне раціональне число x, можна в єдиний спосіб записати як ${\displaystyle x=p^{n}{\dfrac {a}{b}}}$, де a і b цілі числа, що не діляться на p, b > 0 і n є цілим числом; тоді

${\displaystyle |x|_{p}:={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0,\\p^{-n},&{\text{if }}x\neq 0.\end{cases}}}$

Теорема Островського: довільне нетривіальне власне значення на полі раціональних чисел є еквівалентним або дійсному власному значенню або p-адичному абсолютному значенню для деякого простого числа p.

Розглянемо деяке абсолютне значення на множині ${\displaystyle (\mathbf {Q} ,|\cdot |_{\ast })}$. Є два можливі випадки,

(i) ${\displaystyle \exists {n\in \mathbf {N} },|n|_{\ast }>1}$

(ii) ${\displaystyle \forall {n\in \mathbf {N} },|n|_{\ast }\leq 1}$

Достатньо розглянути значення лише на цілих числах більших 1. Справді, якщо число c з множини R⁺ є таким, що для всіх цілих чисел більших 1, ${\displaystyle |n|_{\ast }=|n|_{\ast \ast }^{c}}$ тоді ця рівність також тривіально виконується для 0 і 1, а для додатних раціональних чисел

${\displaystyle \left|{\frac {m}{n}}\right|_{\ast }={\frac {|m|_{\ast }}{|n|_{\ast }}}={\frac {|m|_{\ast \ast }^{c}}{|n|_{\ast \ast }^{c}}}=\left({\frac {|m|_{\ast \ast }}{|n|_{\ast \ast }}}\right)^{c}=\left|{\frac {m}{n}}\right|_{\ast \ast }^{c}.}$

Для від'ємних раціональних чисел:

${\displaystyle |{-x}|_{\ast }=|x|_{\ast }=|x|_{\ast \ast }^{c}=|{-x}|_{\ast \ast }^{c}.}$

Нехай a, b і n — натуральні числа і a, b > 1. Записавши bⁿ в системі числення з базою a отримаємо:

${\displaystyle b^{n}=\sum _{i<m}c_{i}a^{i},\qquad c_{i}\in \{0,1,\ldots ,a-1\},\quad m\leq n{\frac {\log b}{\log a}}+1.}$

Тоді, згідно властивостей абсолютних значень:

${\displaystyle {\begin{aligned}|b|_{\ast }^{n}&=|b^{n}|_{\ast }\\&\leq am\max \left\{|a|_{\ast }^{m-1},1\right\}\\&\leq a(n\log _{a}b+1)\max \left\{|a|_{\ast }^{n\log _{a}b},1\right\}\end{aligned}}}$

Тому

${\displaystyle |b|_{\ast }\leq \left(a(n\log _{a}b+1)\right)^{1/n}\max \left\{|a|_{\ast }^{\log _{a}b},1\right\}}$

Проте ми маємо:

${\displaystyle (a(n\log _{a}b+1))^{1/n}\to 1,\quad {\text{as}}\quad n\to \infty }$

звідки випливає що:

${\displaystyle |b|_{\ast }\leq \max \left\{|a|_{\ast }^{\log _{a}b},1\right\}.}$

Тепер виберемо 1 < b ∈ N таке що |b|_∗ > 1. Використовуючи це в попередньому отримаємо, що |a|_∗ > 1 незалежно від вибору a (в іншому випадку ${\displaystyle |a|_{\ast }^{\log _{a}b}\leq 1}$ і тому ${\displaystyle |b|_{\ast }\leq 1}$). Тож для довільного вибору a, b > 1 отримуємо

${\displaystyle |b|_{\ast }\leq |a|_{\ast }^{\log b/\log a},}$

тобто

${\displaystyle {\frac {\log |b|_{\ast }}{\log b}}\leq {\frac {\log |a|_{\ast }}{\log a}}.}$

Згідно симетрії, ця нерівність є рівністю.

Оскільки a, b були довільними, існує константа, ${\displaystyle \lambda \in \mathbf {R} ^{+}}$ для якої ${\displaystyle \log |n|_{\ast }=\lambda \log n}$, тобто ${\displaystyle |n|_{\ast }=n^{\lambda }=|n|_{\infty }^{\lambda }}$ для всіх цілих чисел n > 1. Тому, згідно попереднього, ${\displaystyle |x|_{\ast }=|x|_{\infty }^{\lambda }}$, що й доводить еквівалентність із звичайним модулем числа.

Оскільки абсолютне значення не є тривіальним, існує натуральне число для якого |n|_∗ < 1. Розклавши це число на прості множники,

${\displaystyle n=\prod _{i<r}p_{i}^{e_{i}}}$

можна помітити, що |p|_∗ має бути меншим 1, хоча б для одного простого множника p = p_j. Доведемо, що абсолютне значення може бути менше 1 лише для одного простого числа.

Припустимо, що p, q є двома різними простими числами власне значення яких є меншим 1. Спершу нехай ${\displaystyle e\in \mathbf {N} ^{+}}$ таке число, що ${\displaystyle |p|_{\ast }^{e},|q|_{\ast }^{e}<{\tfrac {1}{2}}}$. Згідно алгоритму Евкліда, існують числа m, n ∈ Z для яких виконується рівність ${\displaystyle mp^{e}+nq^{e}=1}$. Звідси отримуємо

${\displaystyle 1=|1|_{\ast }\leq |m|_{\ast }|p|_{\ast }^{e}+|n|_{\ast }|q|_{\ast }^{e}<{\frac {|m|_{\ast }+|n|_{\ast }}{2}}\leq 1,}$

що приводить до суперечності.

Отож маємо |p_j|_∗ = α < 1 для деякого j і |p_i|_∗ = 1 для i ≠ j. Позначивши

${\displaystyle c=-{\frac {\log \alpha }{\log p}},}$

отримуємо що для довільних натуральних чисел

${\displaystyle |n|_{\ast }=\left|\prod _{i<r}p_{i}^{e_{i}}\right|_{\ast }=\prod _{i<r}\left|p_{i}\right|_{\ast }^{e_{i}}=\left|p_{j}\right|_{\ast }^{e_{j}}=(p^{-e_{j}})^{c}=|n|_{p}^{c}.}$

Як і вище для довільних раціональних чисел ${\displaystyle |x|_{\ast }=|x|_{p}^{c}}$, тобто абсолютне значення є еквівалентним з p-адичним абсолютним значенням.

Теоремою Островського часто також називають більш загальні твердження для довільних числових полів, загальних полів чи тіл.

Нехай ${\displaystyle K}$ — алгебричне числове поле, тобто скінченне розширення поля раціональних чисел і ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$— його кільце цілих чисел. Оскільки ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ є кільцем Дедекінда, то для будь-якого його простого ідеала ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ і будь-якого елемента ${\displaystyle \alpha \in K^{\times }}$ можна записати ${\displaystyle (\alpha )={\mathfrak {p}}^{n}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}^{-1},}$ де ${\displaystyle (\alpha )}$ — головний ідеал породжений цим елементом, а ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$ є ідеалами взаємно простими з ідеалом ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Тоді можна ввести нормування ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(\alpha )=m}$ і абсолютне значення ${\displaystyle |\alpha |_{\mathfrak {p}}:=N({\mathfrak {p}})^{-v_{\mathfrak {p}}(\alpha )},}$ де ${\displaystyle N({\mathfrak {p}})=|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {p}}|}$ — норма ідеала ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$.

Введена так функція ${\displaystyle |\alpha |_{\mathfrak {p}}}$ дійсно є абсолютним значенням і з китайської теореми про лишки випливає, що для двох різних простих ідеалів ці абсолютні значення не є еквівалентними.

Іншими прикладами абсолютного значення є модулі числа індуковані вкладенням числового поля в поле дійсних чи комплексних чисел. А саме якщо ${\displaystyle \sigma }$ є таким вкладенням то ${\displaystyle |\alpha |_{\sigma }:=|\sigma (\alpha )|}$ де в правій частині позначений звичайний модуль дійсного чи комплексного числа. Це абсолютне значення буде архімедовим. Спряжені комплексні вкладення визначають одне абсолютне значення і навпаки, якщо два різні дійсні чи комплексні вкладення задають одне абсолютне значення то вони є комплексно спряженими.

Теорема Островського для числових полів стверджує, що розглянуті вище приклади абсолютних значень є фактично єдиними для числових полів: якщо ${\displaystyle K}$ — алгебричне числове поле, то будь-яке його неархімедове нетривіальне абсолютне значення є еквівалентним ${\displaystyle |\alpha |_{\mathfrak {p}}}$ для деякого простого ідеала ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$, а будь-яке архімедове абсолютне значення є еквівалентним ${\displaystyle |\alpha |_{\sigma }}$ для деякого дійсного чи комплексного вкладення ${\displaystyle \sigma }$.

Нехай тепер ${\displaystyle F}$ — поле і ${\displaystyle F(T)}$ — поле раціональних функцій від однієї змінної над ${\displaystyle F}$. Оскільки ${\displaystyle F(T)}$ є полем часток кільця ${\displaystyle F[T]}$, що є кільцем головних ідеалів, то на ${\displaystyle F(T)}$ можна ввести нормування ${\displaystyle v_{\pi (T)}}$ пов'язане із незвідним многочленом ${\displaystyle \pi (T)}$ зі старшим коефіцієнтом рівним 1. Для довільного ${\displaystyle f\in F(T)}$ його значення визначається з розкладу ${\displaystyle f(T)=\pi ^{v_{\pi }(f)}(T)g(T)/h(T)}$, де многочлени ${\displaystyle g(T),h(T)}$ є взаємно простими з ${\displaystyle \pi (T)}$.

Для довільного дійсного числа ${\displaystyle c\in (0,1)}$ можна задати абсолютне значення породжене введеним нормуванням: ${\displaystyle |f|_{\pi }:=c^{v_{\pi }(f)}.}$ Для різних таких ${\displaystyle c}$ абсолютні значення будуть еквівалентними, натомість для різних незвідних многочленів зі старшим коефіцієнтом рівним 1 відповідні абсолютні значення не будуть еквівалентними.

Окрім того на полі раціональних функцій можна ввести ще одне неархімедове абсолютне значення як: ${\displaystyle |f|_{\infty }:=c^{-\operatorname {deg} (f)}.}$ Це абсолютне значення не буде еквівалентним попереднім.

Теорема Островського для числових полів: будь-яке нетривіальне абсолютне значення на полі ${\displaystyle F(T)}$, що є тривіальним на ${\displaystyle F}$ є еквівалентним або ${\displaystyle |f|_{\pi }}$ для деякого незвідного многочлена ${\displaystyle \pi (T)}$ зі старшим коефіцієнтом рівним 1 або ${\displaystyle |f|_{\infty }.}$

Теоремою Островського також називають пов'язаний результат, що описує з точністю до еквівалентності всі архімедові абсолютні значення на довільному полі чи, більш загально, тілі: якщо ${\displaystyle |x|}$  — архімедове абсолютне значення на тілі K, то існує таке вкладення K на деяке всюди щільне підтіло тіла ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ або ${\displaystyle \mathbb {H} }$ (тіло кватерніонів), що ${\displaystyle |x|}$ є еквівалентним абсолютному значенню, індукованому з ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ або ${\displaystyle \mathbb {H} }$; якщо K є полем то всі можливі вкладення є на поля ${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {C} }$.

• P-адичне число
• Абсолютне значення (алгебра)
• Модуль числа

• Cassels, J. W. S. (1986). Local Fields. London Mathematical Society Student Texts. Т. 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.
• Janusz, Gerald J. (1996). Algebraic Number Fields (вид. 2nd). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4.
• Jacobson, Nathan (1989). Basic algebra II (вид. 2-е). W H Freeman. ISBN 0-7167-1933-9.
• Ostrowski, Alexander (1916). Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ(x)·φ(y)=φ(xy). Acta Mathematica (вид. 2-е). 41 (1): 271—284. doi:10.1007/BF02422947. ISSN 0001-5962.^{[недоступне посилання]}