Нормування (алгебра)

В абстрактній алгебрі, а також алгебраїчній теорії чисел і алгебраїчній геометрії, нормування є певною мірою мультиплікативності. Поняття є узагальненням зокрема порядку кореня многочлена, порядку нуля чи полюса в комплексному аналізі і порядку подільності на просте число в арифметиці.

Нормуванням комутативного кільця з одиницею ${\displaystyle (A,+,\times )}$ із значеннями в лінійно впорядкованій абелевій групі ${\displaystyle (G,+,<)}$ з приєднаним нескінченним елементом ${\displaystyle \infty }$ називається відображення ${\displaystyle v:A\longrightarrow G\cup \{\infty \}}$, що задовольняє таким вимогам:

• ${\displaystyle \forall x\in A,\ v(x)=\infty \Longleftrightarrow x=0}$ ;
• ${\displaystyle \forall x,y\in A,\ v(xy)=v(x)+v(y)}$ ;
• ${\displaystyle v(x+y)\geqslant \min(v(x),v(y))}$.

Приєднаний нескінченний елемент задовольняє умови ${\displaystyle a<\infty }$ і ${\displaystyle a+\infty =\infty }$ для всіх ${\displaystyle a\in G}$.

Якщо A є полем, то v є гомоморфізмом групи (A*, ×) в групу (G, +) і образ v(A*) є підгрупою групи G. Обмеживши розгляд лише цією підгрупою можна вважати v сюр'єкцією. Якщо A не є полем, то, образ v(A*) є моноїдом в групі G.

Якщо ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$ то нормування називається дискретним.

Нормування v і v' на кільці A називаються еквівалентними, якщо існує ізоморфізм впорядкованих моноїдів:

${\displaystyle \lambda :v(A^{*})\to v'(A^{*})}$ для якого ${\displaystyle v'=\lambda \circ v.}$

Якщо розглядати нормування на полі K то множина елементів R, що визначена як ${\displaystyle R=\{x\in K\ |\ v(x)\geqslant 0\}}$ є підкільцем поля K і називається кільцем нормування v в полі K. Кільце нормування завжди є локальним кільцем. Підмножина M поля K, визначена як ${\displaystyle m=\{x\in K\ |\ v(x)>0\}}$ є максимальним ідеалом кільця R. Він називається ідеалом нормування v. Фактор-кільце ${\displaystyle R/m}$, що є полем, називається полем лишків нормування v.

Нехай в полі K задані нормування v і v' . Кільця цих нормувань, що розглядаються як підкільця поля K, тоді і тільки тоді збігаються, коли ці нормування еквівалентні. Таким чином, опис всіх (з точністю до еквівалентності) нормувань поля K зводиться до опису всіх таких підкілець, які можуть бути для цього поля кільцями нормування.

• Нормування кільця, яке визначається формулою:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}v:&A&\longrightarrow &G\cup \{\infty \}\\&x&\longmapsto &{\begin{cases}\infty &\ x=0\\0&x\neq 0\end{cases}}\end{array}}}$

називається невласним, або тривіальним нормуванням. Для скінченних полів це нормування є єдиним.

• Будь-яке кільце з неархімедовим абсолютним значенням може бути перетворено в нормоване кільце, якщо в моноїді значень перейти від мультиплікативного запису до адитивного і замінити впорядкованість на інверсну. Елемент 0 при цьому природно позначити символом ${\displaystyle \infty }$ . Зворотний перехід від кільця з нормуванням до кільця з неархімедовим абсолютним значенням також можливий.
• Якщо в кільці було задано неархімедове абсолютне значення, із значеннями в множині додатних дійсних чисел то нормування можна визначити формулою:

${\displaystyle \forall x\in A^{*},\ v(x)=\log |x|.}$

• Нехай K є полем, K[X] — кільце многочленів з коефіцієнтами з поля K і a — елемент поля K. Порядок кореня многочлена в точці a визначає нормування:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}v_{a}:&K[X]&\longrightarrow &\mathbb {Z} \cup \{\infty \}\\&P&\longmapsto &\sup \left\{k\in \mathbb {N} \ |\ \exists R\in K[X],\ P(X)=(X-a)^{k}R(X)\right\}\end{array}}}$

• Подібним чином можна визначити нормування і на множині K(X) раціональних функцій з коефіцієнтами з поля K :

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}v_{a}:&K(X)&\longrightarrow &\mathbb {Z} \cup \{\infty \}\\&P/Q&\longmapsto &v(P)-v(Q)\end{array}}}$

• Для простого числа p можна визначити p-адичне нормування:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}v_{p}:&\mathbb {Z} &\longrightarrow &\mathbb {N} \cup \{\infty \}\\&n&\longmapsto &{\begin{cases}\infty &n=0\\\max\{k\in \mathbb {N} \ |\ \exists q\in \mathbb {Z} \quad p^{k}q=n\}&n\neq 0\end{cases}}\end{array}}}$

Якщо A є комутативним кільцем з одиницею на якому визначено нормування v, то :

• ${\displaystyle v(1)=v(-1)=0}$ ;
• ${\displaystyle \forall x,y\in A,\ v(x-y)\geqslant \min(v(x),v(y))}$ ;
• ${\displaystyle \forall x,y\in A,\ v(x)\neq v(y)\Rightarrow v(x+y)=\min(v(x),v(y))}$ ;
• A є областю цілісності;
• Нормування w в єдиний спосіб можна продовжити на поле часток кільця A :

${\displaystyle \forall p/q\in \mathrm {Frac} (A),\ w(p/q)=v(p)-v(q)}$.

• Для будь-якої лінійно впорядкованої абелевої групи ${\displaystyle (G,+,<)}$ існує нормування деякого поля, група значень якого ізоморфна ${\displaystyle G}$.

Нехай ${\displaystyle v:K\longrightarrow G\cup \{\infty \}}$, нормування поля K і ${\displaystyle V_{\gamma }=\{x\in K\ |\ v(x)>\gamma \}}$, де ${\displaystyle \gamma \in G}$. Сукупність усіх ${\displaystyle \gamma ,\;\gamma \in G}$ утворює фундаментальну систему околів нуля топології поля K, що називається топологією визначеною нормуванням v. Ця топологія є гаусдорфовою і незв'язною. Топологія, індукована на кільці нормування R, як правило, відрізняється від топології локального кільця. Для нетривіального нормування поля K топологія нормування є локально компактною тоді і тільки тоді, коли нормування v є дискретним, кільце нормування повним, а поле лишків нормування v є скінченним; кільце R при цьому буде компактним.

Поповнення K' поля K щодо топології v є полем. Нормування v неперервно продовжується до нормування ${\displaystyle {\bar {v}}:K\longrightarrow G\cup \{\infty \}}$, і топологія поповнення K' збігається з топологією цього нормування. Кільце нормування ${\displaystyle {\bar {v}}}$ є поповненням кільця нормування ${\displaystyle v}$.

Нормування v і v' поля K називаються незалежними, якщо їх топології нормування є різними. Це еквівалентно тому, що їх кільця нормувань спільно породжують поле K.

Справедлива теорема апроксимації для нормування: нехай ${\displaystyle v_{i}:K\longrightarrow G_{i}\cup \{\infty \},\;i=1,...,n}$ — незалежні нормування, ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}\in K}$ і ${\displaystyle \gamma _{1},...,\gamma _{n}\in G,}$ тоді знайдеться такий елемент ${\displaystyle a\in K}$, що ${\displaystyle v_{i}(a_{i}-a)\geqslant \gamma _{i}}$ для всіх i.

Якщо v' — нормування поля L, а K — підполе L, то обмеження ${\displaystyle v=v'|_{K}}$ нормування v' на поле K є нормуванням поля K, а його група значень G — підгрупою групи G'. v' називається при цьому продовженням нормування v .

Навпаки, якщо v — нормування, a L — розширення поля K, то завжди існує нормування поля L, що продовжує v . Індекс ${\displaystyle [G':G]}$ підгрупи G в групі G' називається індексом розгалуження нормування v' щодо v і позначається ${\displaystyle e(v'/v)}$. Поле лишків ${\displaystyle k_{v}}$ нормування v ототожнюється з підполем поля лишків ${\displaystyle k_{v}}$, степінь розширення ${\displaystyle [k_{v'}:k_{v'}]}$ позначається ${\displaystyle f(v'/v)}$ і називається степенем лишків нормування v' щодо v . Продовження v' нормування v називається безпосереднім, якщо ${\displaystyle e(v'/v)=f(v'/v)=l}$. Нехай L — розширення поля K, а ${\displaystyle \{v_{i}|i\in I\}}$ — множина всіх продовжень нормування v на L. Якщо L — скінченне розширення поля K степеня n, то множина всіх продовжень v є скінченною, і

${\displaystyle \sum _{i\in I}e(v_{i}/v)=f(v_{i}/v)\leqslant n.}$

В ряді випадків цю нерівність можна замінити на рівність, наприклад коли v є дискретним нормуванням і або K є повним, або L є сепарабельним над K. Якщо L — нормальне розширення K, то продовження v на L переводяться K-автоморфізмами L, зокрема якщо L — радикальне розширення K, то v має єдине продовження.

• Абсолютне значення (алгебра)
• Кільце дискретного нормування
• Кільце нормування
• Локальне кільце

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Valuation, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

• Алгебраическая теория чисел. ред. Касселс Д., Фрёлих А. М.: Мир 1969
• Cohn, P. M. (1991), Algebraic Numbers and Algebraic Functions, Chapman Hall/CRC Mathematics Series, т. 4, CRC Press, ISBN 9780412361906
• Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.