Тотожність Ейлера

Ця стаття містить текст, що не відповідає енциклопедичному стилю. Будь ласка, допоможіть удосконалити цю статтю, погодивши стиль викладу зі стилістичними правилами Вікіпедії. Можливо, сторінка обговорення містить зауваження щодо потрібних змін. (листопад 2015)

У математичному аналізі тотожність Ейлера, що названа на честь Леонарда Ейлера, це рівняння

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,}$

де

${\displaystyle e\,\!}$ — це число Ейлера, основа натуральних логарифмів;

${\displaystyle i\,\!}$ — це уявна одиниця, комплексне число, квадрат якого дорівнює ${\displaystyle -1}$;

${\displaystyle \pi \,\!}$ — це число пі, відношення довжини кола круга до його діаметра.

Тотожність Ейлера також називають «рівнянням Ейлера».

Тотожність Ейлера є прекрасним зразком єдності математики. Як зауважив Елі Маор, вона поєднує три основні математичні операції, а саме додавання, множення, і піднесення до степеня і п'ять фундаментальних математичних констант, що належать до чотирьох класичних галузей математики:

• число 0 і число 1 (Арифметика);
• число ${\displaystyle i}$, уявну одиницю, комплексне число, що задовільняє ${\displaystyle i^{2}=-1}$ (Алгебра);
• число ${\displaystyle \pi }$ (Геометрія);
• число ${\displaystyle e}$, основа натуральних логарифмів (Аналіз).

Не дивно, що чимало хто знайшов у тотожності Ейлера містичні значення усіх зразків. («These five constants symbolize the four major branches of classical mathematics: arithmetic, represented by 0 and 1; algebra, by i; geometry, by π; and analysis by e. No wonder that many people have found in Euler's formula all kinds of mystic meanings.»)

Тотожність Ейлера викликала багато захоплених відгуків.

• За словами відомого суднобудівника та математика академіка Олексія Миколайовича Крилова, у цій тотожності загадковим чином поєдналися числа, що символізують арифметику (0 та 1), алгебру (i), аналіз (e) та геометрію (π).^[1]
• Карл Фрідріх Ґаусс говорив, що якщо ця формула не є відразу очевидна для студента, то він ніколи не перетвориться на першокласного математика.^[2]
• За опитуванням читачів журналу Physics World, що проходило у 2004 році, тотожність Ейлера (разом з рівняннями Максвелла) була названа «Найвеличнішим рівнянням історії»^[3]
• За думкою Констанс Рід^[en], ця тотожність є «найзнаменитішою формулою всієї математики».^[4]

Після доведення тотожності Ейлера в лекції, Бенджамін Пірс, відомий математик XIX сторіччя і професор Гарвардського університету, сказав, «Це абсолютно парадоксально; ми не можемо зрозуміти це, і ми не знаємо, що це означає, але ми довели це, і тому знаємо, що це повинно бути істиною.»^[5]

Тотожність Ейлера випливає із формули Ейлера, що має вид:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!}$

для будь-якого дійсного числа ${\displaystyle x}$. Зокрема, якщо

${\displaystyle x=\pi ,\,\!}$ то ${\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!}$

Оскільки

${\displaystyle \cos \pi =-1\,\!}$ та ${\displaystyle \sin \pi =0,\,\!}$ отримуємо ${\displaystyle e^{i\pi }=-1,\,\!}$

що і доводить тотожність

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.\,\!}$

Загальнішим чином, можна довести, що

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi ik/n}=0.}$

Тотожність Ейлера відповідає ${\displaystyle n=2.}$

• Crease, Robert P., «The greatest equations ever», PhysicsWeb, October 2004.
• Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics (New York: Penguin, 2004).
• Kasner, E., and Newman, J., Mathematics and the Imagination (Bell and Sons, 1949).
• Maor, Eli, e: The Story of a number (Princeton University Press, 1998), ISBN 0-691-05854-7
• Reid, Constance, From Zero to Infinity (Mathematical Association of America, various editions).

Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її.