Математична константа

Математична константа
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Математична константа у Вікісховищі

Математична константа — величина, значення якої не змінюється; в цьому вона протилежна змінній. Зазвичай — це дійсне або комплексне число, яка виводиться в самій математиці, тому на відміну від фізичних констант, математичні константи визначені незалежно від якихось фізичних вимірювань.

Використані скорочення: Р — раціональне число, І — ірраціональне число, А — алгебраїчне число, Т — трансцендентне число, ? — невідомо; мат — звичайна математика, ТЧ — теорія чисел, ТХ — теорія хаосу, комб — комбінаторика.

Символ	Наближене значення	Назва	Галузь	Значення	Вперше описана	Число відомих знаків
${\displaystyle 0}$	0	нуль	мат	Р	7 ст. до Р.Х.- 5 ст. до Р.Х.
${\displaystyle 1}$	1	одиниця, Unity	мат	Р
${\displaystyle i}$	${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$	уявна одиниця	мат, мат. аналіз	А	16 століття
${\displaystyle \pi }$	≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88	пі, константа Архімеда	мат	Т	2000 рік до Р.Х.	1 241 100 000 000
${\displaystyle e}$	≈ 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 49	константа Непера, число Ейлера, основа натурального логарифма	мат	Т		12 884 901 000
${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	≈ 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 07	константа Піфагора, квадратний корінь з 2	мат	І		137 438 953 444
${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	≈ 1,732 050 807 568 877 293 527 446 341 505	константа Теодоруса, квадратний корінь з 3	мат	І
${\displaystyle \gamma }$	≈ 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 43	стала Ейлера — Маскероні	мат, ТЧ	?		108 000 000
${\displaystyle \varphi }$	≈ 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 11	золотий перетин	мат	І		3 141 000 000
${\displaystyle \beta ^{*}}$	0,702 58	константа Ембрі — Трефетена	ТЧ
${\displaystyle \delta }$	≈ 4,669 201 609 102 990 671 853 203 820 466 201 61	константи Фейгенбаума	ТХ		1975
${\displaystyle \alpha }$	≈ 2,502 907 875 095 892 822 283 902 873 218 215 78	константи Фейгенбаума	ТХ
${\displaystyle C_{2}}$	≈ 0,660 161 815 846 869 573 927 812 110 014 555 77	константа простих близнюків	ТЧ			5 020
${\displaystyle M_{1}}$	≈ 0,261 497 212 847 642 783 755 426 838 608 695 85	константа Майсселя — Мертенса	ТЧ		1866; 1874	8010
${\displaystyle B_{2}}$	≈ 1,902 160 582 3	константа Бруна для простих близнюків	ТЧ		1919	10

Стала π (пі) має натуральне визначення в Евклідовій геометрії (співвідношення між окружністю і діаметром кола), але її можна зустріти в багатьох математичних поняттях: наприклад, Гаусівський інтеграл у комплексному аналізі, у Корінь з одиниці в теорії чисел, і Розподіл Коші імовірностей. Однак, її поширення не обмежується лише класичною математикою. Вона використовується в багатьох фізичних формулах, і деякі фізичні константи визначені через π. Однак, об'єктом дискусій щодо того, наскільки її використання є фундаментальним в таких випадках. Наприклад, нерелятивістська хвильова функція основного стану атома водню є такою:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{(\pi a_{0}^{3})^{1/2}}}e^{-r/a_{0}},}$

де ${\displaystyle a_{0}}$ це радіус Бора. Формула містить число π, але залишається не ясним, наскільки це коректно у фізичному плані, або це лише відображає π в виразі ${\displaystyle {4\pi r^{2}}}$ для розрахунку площі поверхні сфери із радіусом ${\displaystyle r}$. Крім того, ця формула дає лише приблизне описання фізичної реальності, оскільки вона не враховує спін, релятивізм, і квантову природу електромагнітного поля. Аналогічно, поява числа π у формулі, що описує закон Кулона в одиницях вимірювання СІ, залежить від вибору системи одиниць, і історично це пов'язано з тим як була введена в практику так звана діелектрична проникність вільного простору, яку запропонував Джованні Джорджі^[en] в 1901. Константа π, як в наведеному рівнянні, часто мають чисто з математичну природу і сенс, а не фізичну.

Числове значення π приблизно дорівнює 3.1415926535 (послідовність A000796 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Запам'ятовування як змога більшої кількості цифр числа π є свого типу змаганням за встановлення світового рекорду.

Число Ейлера e, що також відоме як стала експоненційного зростання, застосовується у багатьох галузях математики і одним із можливих визначень її значення є наступний вираз:

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

Наприклад, математик Якоб Бернуллі встановив, що число e виникає в розрахунках складних відсотків: рахунок, який починається із суми в $1, і дає відсоток із річною ставкою R при постійному зростанні, акумулюватиме до e^R доларів до кінця одного року. Константа e також має своє застосування у теорії ймовірностей, де вона очевидно не пов'язана із експоненціальним зростанням. Уявімо ігровий автомат із ймовірністю один із n отримати виграш. Нехай з ним зіграли n разів. Тоді, для великих значень n (настільки великих як один мільйон) імовірність того, що нічого не буде виграно дорівнюватиме приблизно 1/e і прямує до цього значення з тим як n прямує до нескінченності.

Іншим застосуванням числа e, яку вирішив Якоб Бернулі одночасно з французьким математиком П'єром де Монмором, є задача перестановок без нерухомих точок, що також називається безладом.^[1] Нехай, наприклад, n це кількість гостей, яких запросили на вечірку, і на вході кожен гість віддає свого капелюха дворецькому, який складає їх у підписані комірки. Дворецький не знає імен гостей, і тому розкладає їх капелюхи навмання. Задачею де Монмора є знайти ймовірність того, що жоден з капелюхів гостей не буде покладений в правильну комірку. Відповіддю до цієї задачі буде

${\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}}$

із тим як n прямує до нескінченності, p_n наближатиметься до 1/e.

Числове значення сталої e приблизно становить 2.7182818284 (послідовність A001113 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Квадратний корінь з двох, відомий як константа Піфагора і записується як √2, є додатнім алгебраїчним числом, при множенні якого на самого себе результатом буде число 2. Більш точно його називати головний корінь числа 2, аби відрізнити його від від'ємного числа, яке має таку ж властивість.

В геометричному сенсі квадратний корінь числа 2 це довжина діагоналі, що розділяє квадрат, сторони якого дорівнюють одиниці. Це випливає із теореми Піфагора. Ймовірно, це перше відоме ірраціональне число. Його числове значення із точністю до 65 десяткових знаків є наступним:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799... послідовність A002193 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Часто для спрощення розрахунків використовується наближене значення у вигляді дробу 99/70 (≈ 1.41429). Дане число відрізняється від правильного менше ніж на 1/10000 (приблизно 7.2 × 10 ⁻⁵).

Уявна одиниця, позначається як i, є математичним поняттям, що розширює систему дійсних чисел ℝ до системи комплексних чисел ℂ, що в свою чергу визначає принаймні один корінь будь-якого поліному P(x) (див Основна теорема алгебри). Основною властивістю уявної одиниці є те, що i² = −1. Термін "уявне" використовується тому, що не існує такого дійсного числа, що б мало від'ємний квадрат.

Насправді існує два комплексні квадратні корені −1, а саме i і −i, так само як існує два комплексні квадратні корені будь-якого іншого дійсного числа, крім числа нуль.

Наведені в цьому розділі сталі зустрічаються у задачах вищої математики.

Ітерації неперервних відображень є найпростішим прикладом моделювання динамічних систем.^[2] Із такого ітеративного процесу виникають дві константи Фейгенбаума, названі на честь математичного фізика Мітчелла Фейгенбаума. Ці констати є математичними інваріантами логістичних відображень із квадратичними точками максимумів^[3] і їх діаграм біфуркації^[en].

Логістичне відображення це поліноміальне поліноміальне відображення, яку часто описують за допомогою архітипного прикладу того як вз дуже простих рівнянь не лінійної динаміки може виникнути хаотична поведінка. Це відображення було опубліковано у статті 1976 австралійського біолога Роберта Мейя,^[4] в рамках дослідження демографічної моделі дискретного часу аналогічної до логістичного рівняння, яке вперше створив П'єр Франсуа Ферхюльст. Різницеве рівняння призначене для описання двох ефектів відтворення популяції та голоду.

Числове значення α приблизно становить 2.5029. Числове значення δ приблизно є 4.6692.

Попри те, що вона є частковим значенням Дзета-функції Рімана, стала Апері природним чином зустрічається в багатьох фізичних задачах, зокрема в термах другого і третього порядку гіромагнітного співвідношення для електронів, розрахованого за допомогою квантової електродинаміки.^[5] Числовим значенням сталої ζ(3) приблизно є 1,2020569. Визначається вона наступним виразом:

${\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots }$

${\displaystyle F\left(n\right)={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}}$

Приклад формули для n-го числа Фібоначчі із застосуванням золотого перетину φ.

Число φ, що називається золотим перетином, часто зустрічається у геометрії, зокрема при розгляді фігур із п'ятикутною симетрією. Дійсно, довжина діагоналі правильного п'ятикутника дорівнює числу φ помноженому на сторону. Вершини правильного ікосаедра утворюють три взаємно ортогональні золоті прямокутники. Воно також з'являється у послідовності Фібоначчі, і пов'язане зі зростанням за допомогою рекурсії.^[6] Кеплер в свою чергу довів, що воно є границею співвідношення послідовних чисел Фібоначі.^[7] Золотий перетин має найменшу збіжність із усіх ірраціональних чисел.^[8] Саме з цієї причини, золотий перетин є одним із найгірших випадків теореми апроксимації Лагранжа і є екстремальним випадком теореми Гурвіца для Діофантової апроксимації. Це може бути причиною, чому при зростанні рослин часто виникають кути близькі до золотого перетину.^[9] Золотий перетин приблизно дорівнює 1.6180339887498948482, або більш точно визначається як 2sin(54°) = ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

Стала Ейлера—Маскероні є важливою сталою із теорії чисел. Бельгійський математик Шарль Жан де ла Валле-Пуссен в 1898 довів, що якщо взяти будь-яке додатне число n і поділити його на кожне додатне ціле число m, що є меншим за n, середнє значення дробу, при якому відношення n/m є найближчим до наступного цілого прямує до ${\displaystyle \gamma }$ (а не до 0.5) при n що прямує до нескінченності. Стала Ейлера—Маскероні також зустрічається у третій теоремі Мартенеса і має зв'язок із гамма функцією, Дзета-функцією Рімана і багатьма різними інтегралами і рядами. Визначення сталої Ейлера—Маскероні виявляє тісний зв'язок між дискретністю і неперервністю (див зображення ліворуч).

Числове значення сталої ${\displaystyle \gamma }$ приблизно становить 0.57721.

${\displaystyle c=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.\underbrace {\overbrace {110001} ^{3!{\text{ digits}}}000000000000000001} _{4!{\text{ digits}}}000\dots }$

Число Ліувілля є простим прикладом трансцендентного числа.

Деякі сталі, такі як квадратний корінь з двох, число Ліувілля і стала Чемперноуна^[en] :

${\displaystyle C_{10}=0.{\color {blue}{1}}2{\color {blue}{3}}4{\color {blue}{5}}6{\color {blue}{7}}8{\color {blue}{9}}10{\color {blue}{11}}12{\color {blue}{13}}14{\color {blue}{15}}16\dots }$

не є важливими математичними інваріантами, але все ж таки викликають інтерес, оскільки є простими представниками особливих наборів чисел, вони є ірраціональними числами,^[11] трансцендентними числами^[12] і нормальними числами (із основою 10)^[13] відповідно. Відкриття ірраціональних чисел як правило приписують Піфагорійцю Гіппасу Метапонтському, який геометричним способом довів ірраціональність квадратного кореня із 2. Щодо числа Ліувілля, названого в честь французького математика Жозефа Ліувілля, то це було перше число, щодо якого було доведено, що воно є трансцендентним.^[14]

В Алгоритмічній теорії інформації, що є галуззю комп'ютерних наук, постійна Чайтіна^[en] це дійсне число, що представляє собою імовірність, що довільно обрана Машина Тюрінга зупиниться. Хоча постійна Чайтіна не є обчислюваною, було доведено, що воно є трансцендентним і нормальним числом. Постійна Чайтіна не універсальна, і значно залежить від числового кодування, що було використане для машин Тюрінга; однак, її основні цікаві властивості не залежать від кодування.

У разі якщо константа невизначена, вона може ідентифікувати клас подібних об'єктів, як правило функцій, що є в практичному сенсі рівними з точністю до сталої, і можуть розглядатися 'подібними до сталої'. Такі сталі часто з'являються в задачах пов'язаних з інтегральними і диференціальними рівняннями. Хоча вони мають певне значення, значення таких невизначених констант неважливе.

Невизначені інтеграли називаються так, тому що їх розв'язок є визначеним лише до сталої. Наприклад, якщо річ іде про поле дійсних чисел

${\displaystyle \int \cos x\ dx=\sin x+C}$

де C, є сталою інтегрування — довільним дійсним числом.^[15] Іншими словами, яким би не було значення C, диференціювання виразу sin x + C по відношенню до x завжди дасть в результаті cos x.

Аналогічним чином, константи з'являються при розв'язуванні диференційних рівнянь в яких не задано достатніх початкових значень або граничних умов. Наприклад, звичайне диференціальне рівняння y^' = y(x) має розв'язок Ce^x де C є довільною сталою.

Маючи справу із диференціальними рівняннями із частинними похідними, сталі можуть бути функціями, що є сталими по відношенню до деяких змінних (але не обов'язково до всіх із них). Наприклад, наступне рівняння із частинними похідними

${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}=0}$

має множину рішень f(x,y) = C(y), де C(y) є довільною функцією із змінною y.

• Фізичні константи