Універсальна множина (універсум) — в теорії множин така множина U , для якої перетин цієї множини з будь-якою множиною X збігається з цією множиною X . Універсальна множина єдина.
Формально: U — універсальна множина ⇔ ∀X : X ∩U =X .
Таким чином, будь-яка множина X повністю міститься в універсальній множині U . Виходячи з цього можна дати таке визначення універсальної множини: якщо в рамках деякої задачі розглядаються тільки підмножини деякої фіксованої множини U , то сама ця множина U називається універсальною множиною.
Не слід плутати поняття універсальної множини з поняттям множини всіх множин в наївній теорії множин (див. Парадокс Расселла ). Існування такої множини всіх множин забороняється аксіоматичною теорією множин .
В алгебрі множин універсальна множина є одиничним елементом .
Також для будь-якої множини X справедливо: X ∪U =U .
Будь-який об'єкт, якою б не була його природа є елементом універсальної множини.
∀
a
:
a
∈
U
{\displaystyle \forall a\colon a\in U}
Зокрема, універсальна множина містить як один з елементів сама себе.
U
∈
U
{\displaystyle U\in U}
Будь-яка множина є підмножиною універсальної множини.
∀
A
:
A
⊆
U
{\displaystyle \forall A\colon A\subseteq U}
Зокрема, універсальна множина є власною підмножиною.
U
⊆
U
{\displaystyle U\subseteq U}
Об'єднання універсальної множини з будь-якою іншою множиною дорівнює універсальній множині.
∀
A
:
U
∪
A
=
U
{\displaystyle \forall A\colon U\cup A=U}
Зокрема, об'єднання універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.
U
∪
U
=
U
{\displaystyle U\cup U=U}
Перетин універсальної множини з іншою множиною дорівнює множині, що перетинається з універсальною.
∀
A
:
U
∩
A
=
A
{\displaystyle \forall A\colon U\cap A=A}
Зокрема, перетин універсальної множини із собою дорівнює універсальній множині.
U
∩
U
=
U
{\displaystyle U\cap U=U}
Виключення універсальної множини з будь-якої іншої множини дорівнює порожній множині .
∀
A
:
A
∖
U
=
∅
{\displaystyle \forall A\colon A\setminus U=\varnothing }
Зокрема, виключення універсальної множини із самої себе дорівнює порожній множині.
U
∖
U
=
∅
{\displaystyle U\setminus U=\varnothing }
Виключення будь-якої множини з універсальної множини дорівнює доповненню цієї множини.
∀
A
:
U
∖
A
=
A
¯
{\displaystyle \forall A\colon U\setminus A={\overline {A}}}
Доповненням універсальної множини є порожня множина.
U
¯
=
∅
{\displaystyle {\overline {U}}=\varnothing }
Симетрична різниця універсальної множини з будь-якою множиною дорівнює доповненню останної множини.
∀
A
:
U
△
A
=
A
¯
{\displaystyle \forall A\colon U\triangle A={\overline {A}}}
Зокрема, симетрична різниця універсальної множини із собою дорівнює порожній множині.
U
△
U
=
∅
{\displaystyle U\triangle U=\varnothing }
