Функція Тер-Антоняна

Частина циклу статей про
Космічні промені
Прискорення: Фермі · Відцентрове
Спектр: Функція Тер-Антоняна · Межа ГЗК · Космічні промені надвисоких енергій · Частинка Oh-My-God
Атмосферні зливи: Функція Гайсера–Гіласа
Обсерваторії:
Наземні CHICOS · GAMMA · HAWC · H.E.S.S. · HiRes · KASCADE · LHAASO · LOPES · MAGIC · MARIACHI · Обсерваторія П'єра Оже · SWGO · TAP · TAIGA · VERITAS · WALTA
Повітряні ATIC · BESS · CREAM · TRACER
Космічні Spaceship Earth · ACE[en] · HEAO 1[en] · Обсерваторія Ейнштейна (HEAO2) · HEAO 3 · ISS-CREAM · Магнітний альфа-спектрометр · PAMELA
п о р

Функція Тер-Антоняна параметризує енергетичні спектри первинних космічних променів в області «коліна» (${\displaystyle 10^{15}-10^{17}}$ еВ) неперервно диференційованою функцією енергії ${\displaystyle E}$ з урахуванням швидкості зміни спектрального нахилу. Функція виражається формулою:

${\displaystyle {\frac {dF}{dE}}=\Phi E^{-\gamma _{1}}\left(1+\left({\frac {E}{E_{k}}}\right)^{\epsilon }\right)^{\frac {\gamma _{1}-\gamma _{2}}{\epsilon }}}$,

(1)

де ${\displaystyle \Phi }$ — коефіцієнт масштабу, ${\displaystyle \gamma _{1}}$ і ${\displaystyle \gamma _{2}}$ — нахили асимптот функції (або «спектральні нахили») у логарифмічному масштабі при ${\displaystyle E\ll E_{k}}$ і ${\displaystyle E\gg E_{k}}$ відповідно для даної енергії ${\displaystyle E_{k}}$ (так звана енергія «коліна»). Швидкість зміни спектральних нахилів задається у функції (1) параметром «гостроти коліна», ${\displaystyle \epsilon >0}$. Функція (1) була запропонована в 1998 році на семінарі ANI'98 Самвелом Тер-Антоняном^[1] як для інтерполяції енергетичних спектрів первинних частинок космічних променів в діапазоні енергій 1—100 ПеВ, так і для пошуку параметризованих розв'язків оберненої задачі для реконструкції енергетичних спектрів первинних космічних променів^[1][2]. Функція (1) також використовується для інтерполяції спостережуваних спектрів великих повітряних злив в області «коліна»^[2].

Функцію (1) можна переписати так:

${\displaystyle {\frac {dF}{dE}}=\Phi E^{-\gamma _{1}}Y(E,\epsilon ,\Delta \gamma ),}$

де ${\displaystyle \Delta \gamma =\gamma _{2}-\gamma _{1}}$, а

${\displaystyle Y(E,\epsilon ,\Delta \gamma )\equiv \left(1+\left({\frac {E}{E_{k}}}\right)^{\epsilon }\right)^{-{\frac {\Delta \gamma }{\epsilon }}}}$

є функцією форми «коліна», що описує зміну спектрального нахилу. Приклади ${\displaystyle Y(E,\epsilon ,\Delta \gamma =0.5)}$ для ${\displaystyle \epsilon \equiv 0.5,1,2,\cdots 500}$ представлені на рисунку.

Швидкість зміни спектрального нахилу від ${\displaystyle -\gamma _{1}}$ до ${\displaystyle -\gamma _{2}}$ щодо енергії (${\displaystyle E}$) виводиться з (1) диференціюванням:

${\displaystyle {\frac {df(E)}{dx}}=-\gamma _{1}-{\frac {\Delta \gamma }{1+(E_{k}/E)^{\epsilon }}}}$,

де

${\displaystyle f=\ln \left({\frac {dF}{dE}}\right)}$,

${\displaystyle x=\ln({\frac {E}{E_{k}}})}$,

і

${\displaystyle \left({\frac {df}{dx}}\right)_{E=E_{k}}=-{\frac {\gamma _{1}+\gamma _{2}}{2}}}$

є спектральним нахилом при енергії «коліна», незалежним від гостроти.

Функція (1) збігається зі спектрами Б. Пітерса^[3] для ${\displaystyle \epsilon =1}$ і асимптотично наближається до кусково-степеневого закону для ${\displaystyle \epsilon \gg 1}$:

${\displaystyle \left({\frac {dF}{dE}}\right)_{\epsilon =\infty }\propto \left({\frac {E}{E_{k}}}\right)^{-\gamma }}$,

де

${\displaystyle \gamma ={\begin{cases}\gamma _{1},&{\text{if }}E<E_{k}\\\gamma _{2},&{\text{if }}E>E_{k}.\end{cases}}}$