Чотирикутник Саккері

Чотирикутник Саккері — чотирикутник із двома рівними бічними сторонами, перпендикулярними до основи. Названий на честь Джироламо Саккері, який використав його у своїй книзі «Евклід, очищений від усіх плям» (Euclides ab omni naevo vindicatus, вперше опубліковано 1733 року). Саккері в цій праці спробував довести п'ятий постулат методом «від супротивного».

Раніше, наприкінці XI століття, чотирикутник Саккері розглянув Омар Хаям^[1].

У чотирикутнику Саккері ${\displaystyle ABCD}$ сторони ${\displaystyle AD}$ і ${\displaystyle BC}$ рівні за довжиною і перпендикулярні до основи ${\displaystyle AB}$. Кути при ${\displaystyle C}$ і ${\displaystyle D}$ називають верхніми кутами, два інших кути — нижніми.

Корисна властивість чотирикутника Саккері полягає в тому, що тип площини, яка містить його, однозначно визначається відповіддю на лише одне питання:

Чи є верхні кути прямими, тупими чи гострими?

Виявляється, коли верхні кути прямі, на площині виконується п'ятий постулат, коли вони гострі — площина гіперболічна, а коли тупі — еліптична (за умови внесення деяких додаткових змін до постулатів^[2]).

Саккері сподівався, що випадки тупих та гострих кутів призводять до суперечності з аксіомами Евкліда. Він показав це в разі тупих кутів, і, як йому здавалося, у разі гострих теж (що було вочевидь неправильно)^[3].

Чотирикутник Саккері вперше розглянув Омар Хаям наприкінці XI століття^[1]. На відміну від багатьох до і після нього, Хаям не намагався довести п'ятий постулат як такий, він спирався на еквівалентний постулат із «принципів філософа» (Арістотель):

Дві прямі лінії, що сходяться, перетинаються, і неможливо, щоб дві прямі лінії, що сходяться, стали розходитися в напрямку, в якому вони раніше сходилися^[4].

Хаям розглянув усі три можливості для верхніх кутів чотирикутника Сакері і довів низку теорем. Він (правильно) спростував випадки тупих та гострих кутів на підставі його постулату та вивів звідси класичний постулат Евкліда.

600 років потому Джордано Вітале^[en] використав чотирикутник Саккері в доведенні того, що якщо три точки розташовані на рівній відстані від основи ${\displaystyle AB}$ та верхньої сторони ${\displaystyle CD}$, то ${\displaystyle AB}$ і ${\displaystyle CD}$ всюди лежать однаковій відстані.

Сам Саккері у своєму довгому доведенні постулату припустив, що верхні кути гострі, після чого, сам того не підозрюючи, вивів звідси багато теорем гіперболічної геометрії . Наприкінці книги він припустився помилки і прийшов до уявної суперечності, звідки зробив висновок, що зумів довести п'ятий постулат.

Нехай ${\displaystyle ABCD}$ — чотирикутник Саккері з основою ${\displaystyle AB}$. У будь-якій гіперболічній геометрії виконуються такі властивості^[5]:

• Верхні кути (${\displaystyle C}$ і ${\displaystyle D}$) рівні та є гострими.
• Верхня сторона довша за основу.
• Відрізок, що з'єднує середину основи і середину верхньої сторони, перпендикулярний до основи та верхньої сторони.
  • Також цей відрізок ділить чотирикутник на два чотирикутники Ламберта .
• Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін, не перпендикулярний до жодної із сторін.

У гіперболічній площині сталої кривини ${\displaystyle -1}$ верхню сторону ${\displaystyle s}$ чотирикутника Саккері можна виразити через бічну сторону ${\displaystyle l}$ та основу ${\displaystyle b}$ за допомогою формули

${\displaystyle \cosh s=\cosh b\cdot \cosh ^{2}l-\sinh ^{2}l.}$^[6]

Гіперболічна площина допускає замощення деякими чотирикутниками Саккері:

Симетрія *3322

Симетрія *∞∞22

• Чотирикутник Ламберта — варіація чотирикутника Саккері з трьома прямими кутами.

• Coxeter, H.S.M. (1998), Non-Euclidean Geometry (вид. 6th), Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-522-4
• Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
• M. J. Greenberg. Евклідова і неевклідова геометрії: розвиток та історія = Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. — 4th edition. — W. H. Freeman, 2008.
• George E. Martin. Основи геометрії та неевклідова площина = The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane. — Springer-Verlag, 1975.