Поверхня Гурвіца

Поверхня Гурвіца — компактна ріманова поверхня, що має рівно

${\displaystyle 84(g-1)}$

автоморфізмів, де ${\displaystyle g}$ — рід поверхні. Їх також називають кривими Гурвіца, розуміючи їх при цьому як комплексні алгебричні криві (комплексна розмірність 1 відповідає дійсній розмірності 2).

Названо на честь німецького математика Адольфа Гурвіца.

• Це число, ${\displaystyle 84(g-1)}$, виходячи з теореми Гурвіца про автоморфізми^[en][1], є максимальним.

• Фуксова група поверхні Гурвіца є нормальною підгрупою скінченного індексу в (звичайній) групі трикутника (2,3,7)^[en], а також не має скруту. Скінченна фактор-група є точно групою автоморфізмів.

• Автоморфізми комплексної алгебричної кривої є автоморфізмами підлеглої дійсної поверхні, що зберігають орієнтацію. Якщо розглядати також ізометрії, що обертають орієнтацію, то вийде вдвічі більша група порядку ${\displaystyle 168(g-1)}$, яка іноді становить інтерес.

Тут під групою трикутника (2,3,7) найчастіше розуміємо не повну групу трикутника Δ(2,3,7) (група Коксетера з трикутником Шварца (2,3,7), або реалізована як гіперболічна група відбиттів^[en]), а скоріше звичайну групу трикутника (група фон Діка^[en]) D (2,3,7) відображень, що зберігають орієнтацію, яка має індекс 2. Група комплексних автоморфізмів є фактор-групою звичайної групи трикутника, тоді як група ізометрій (з можливою зміною орієнтації) є фактор-групою повної групи трикутника.

Поверхня Гурвіца мінімального роду — це квартика Кляйна^[en] роду 3, з групою автоморфізмів PSL(2,7) (проєктивна спеціальна лінійна група), що має порядок 84(3−1) = 168 = 2²·3·7 і є простою групою. Наступний допустимий рід дорівнює семи і має поверхню Макбіта з групою автоморфізмів PSL(2,8), яка є простою групою порядку 84(7−1) = 504 = 2²·3²·7. Якщо розглядати також ізометрії, що змінють орієнтацію, порядок групи дорівнюватиме 1008.

Цікавий феномен спостерігається з наступним можливим значенням роду, а саме з 14. Тут є трійка різних ріманових поверхонь з ідентичними групами автоморфізмів (порядку 84(14−1) = 1092 = 2²·3·7·13). Пояснення цього феномена є арифметичним. А саме, в кільці цілих відповідного числового поля раціональне просте 13 розкладається на добуток трьох різних простих ідеалів^[2]. Головні конгруенц-групи^[en], визначені трійкою простих ідеалів, дають фуксові групи, що відповідають першій трійці Гурвіца^[en].

• Порядок кватерніонів Гурвіца^[en]

• N. Elkies. Shimura curve computations. Algorithmic number theory. — Berlin : Springer, 1998. — Т. 1423. — (Lecture Notes in Computer Science)
• A. Hurwitz. Über algebraische Gebilde mit Eindeutigen Transformationen in sich // Mathematische Annalen. — 1893. — Т. 41, вип. 3 (10 серпня). — DOI:10.1007/BF01443420.
• M. Katz, M. Schaps, U. Vishne. Logarithmic growth of systole of arithmetic Riemann surfaces along congruence subgroups // J. Differential Geom. — 2007. — Т. 76, вип. 3 (10 серпня). — С. 399-422.
• David Singerman, Robert I. Syddall. The Riemann Surface of a Uniform Dessin // Beiträge zur Algebra und Geometrie (Contributions to Algebra and Geometry). — 2003. — Т. 44, вип. 2 (10 серпня). — С. 413–430.