鞍面 中在主曲率方向的法平面在微分几何 中，在曲面 给定点的两个主曲率 （principal curvatures
在曲面上取一点
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
k
1
{\displaystyle k_{1}}
k
2
{\displaystyle k_{2}}
这里一条曲线的曲率由定义是密切圆 半径 的倒数 。当曲线转向与平面给定法向量相同方向时，曲率取正值，否则取负值。当曲率取最大与最小值的两个法平面方向总是垂直的，这是欧拉 在1760年的一个结论，称之为主方向 。从现代的观点来看，这个定理来自谱定理 因为它们可以作为对应于高斯映射 微分的一个对称矩阵 的本征向量 。对主曲率和主方向的系统研究由达布 使用达布标架 完成。
两个主曲率的乘积
k
1
k
2
{\displaystyle k_{1}k_{2}}
高斯曲率
K
{\displaystyle K}
k
1
+
k
2
2
{\displaystyle {\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}}
平均曲率
H
{\displaystyle H}
如果在每一点至少有一个主曲率是零，则高斯曲率 是零，这种曲面是可展曲面 。对极小曲面 ，平均曲率在每一点是零。
设
M
{\displaystyle M}
第二基本形式 为
I
I
(
X
,
Y
)
{\displaystyle II(X,Y)}
p
∈
M
{\displaystyle p\in M}
p
{\displaystyle p}
标准正交基
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
[
I
I
i
j
]
=
[
I
I
(
X
1
,
X
1
)
I
I
(
X
1
,
X
2
)
I
I
(
X
2
,
X
1
)
I
I
(
X
2
,
X
2
)
]
.
{\displaystyle \left[I\!I_{ij}\right]={\begin{bmatrix}I\!I(X_{1},X_{1})&I\!I(X_{1},X_{2})\\I\!I(X_{2},X_{1})&I\!I(X_{2},X_{2})\end{bmatrix}}.}
如果选取
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
[
I
I
i
j
]
{\displaystyle [II_{ij}]}
定向 ，则通常要求
(
X
1
,
X
2
)
{\displaystyle (X_{1},X_{2})}
若没有一个特定的标准正交基，主曲率是形算子 的本征值，而主方向是本征向量。
对高维欧几里得空间中超曲面，主曲率可类似地定义。主曲率是第二基本形式在一个标准正交基下矩阵
I
I
(
X
i
,
X
j
)
{\displaystyle II(X_{i},X_{j})}
类似地，如果
M
{\displaystyle M}
黎曼流形
N
{\displaystyle N}
k
1
,
⋯
,
k
n
{\displaystyle k_{1},\cdots ,k_{n}}
p
∈
M
{\displaystyle p\in M}
n
{\displaystyle n}
X
1
,
⋯
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}
M
{\displaystyle M}
p
{\displaystyle p}
截面曲率 为
K
(
X
i
,
X
j
)
=
k
i
k
j
.
{\displaystyle K(X_{i},X_{j})=k_{i}k_{j}.\,}
在椭圆型 （elliptical 在脐点 umbilic point
在双曲型 （hyperbolic
在抛物型 （parabolic 在平脐点 （flat umbilic point 猴鞍面 具有离散平脐点。
曲率线 （lines of curvature 或 curvature lines 积分曲线 。过每个非脐点有两条曲率线，它们相交成直角。
在一个脐点附近曲率线有三类布局：星形（star lemon monstar，源于 lemon-star [ 1]
在这些布局中，红色曲线是一类主方向的曲率线，而蓝色曲线是另一类的。
当一条曲率线对同一个主曲率有一个局部极值，则此曲线有一个脊点 （ridge point 脊 。脊曲线经过脐点。对星形布局有 3 条或 1 条脊线经过脐点，对 monstar 与 lemon 只有一条脊线经过[ 2]
Darboux, Gaston. Leçons sur la théorie génerale des surfaces: Volume I , Volume II , Volume III , Volume IV . Gauthier-Villars. 1887,1889,1896. Guggenheimer, Heinrich. Chapter 10. Surfaces. Differential Geometry. Dover. 1977. ISBN 0-486-63433-7 Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi. Foundations of Differential Geometry, Vol. 2. Wiley-Interscience. 1996 (New edition). ISBN 0471157325 Spivak, Michael. A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3). Publish or Perish. 1999. ISBN 0-914098-72-1
^ Berry, M V, & Hannay, J H, 'Umbilic points on Gaussian random surfaces', J.Phys.A 10, 1977, 1809-21, .
^ Porteous, I. R., Geometric Differentiation, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-39063-X
![{\displaystyle \left[I\!I_{ij}\right]={\begin{bmatrix}I\!I(X_{1},X_{1})&I\!I(X_{1},X_{2})\\I\!I(X_{2},X_{1})&I\!I(X_{2},X_{2})\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bffd43b323463adccee7129a8191ca0ad70344b)
![{\displaystyle [II_{ij}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60c676370c18403c322a21b6540a2c829006946f)
