黎曼几何

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几何学
一个球面投射到一个平面。
纲要（英语：Outline of geometry） 历史（英语：History of geometry）
分支（英语：List of geometry topics） 欧几里得 非欧几里得 椭圆 球面 双曲 射影 仿射 合成（英语：Synthetic geometry） 解析 代数 算术几何 微分 黎曼 辛几何 离散微分（英语：Discrete differential geometry） 有限 重合
概念 特性 維度 尺规作图 角度 曲线 对角线 平行 垂直 顶点 全等 相似 对称
零 / 一维 点 直线 线段 射线 长度
二维 平面 面积 多边形 三角形 Altitude 斜边 邊長 勾股定理 平行四边形 正方形 三角形 菱形 平行四边形 四边形 梯形 等腰梯形 筝形 圆形 直径 周长 面积
三维 空間 多面體 体积 表面積 正多面體 凸正多面體 六面體 立方體 長方體 四角柱 平行六面體 幾何體 棱锥 圆锥体 棱柱 圆柱体 球體 直径 體積與表面積 球缺
四维- / 其他维度 多胞形 四维凸正多胞体 四維超正方體 超球體
几何学家
按照姓名 会田安明 阿耶波多 Ahmes 海什木 阿波罗尼奥斯 阿基米德 阿蒂亚 Baudhayana 鲍耶 Brahmagupta Cartan 陈省身 笛卡尔 欧几里得 欧拉 高斯 格罗莫夫 希尔伯特 Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám 克莱因 罗巴切夫斯基 Manava 闵可夫斯基 明安图 帕斯卡 毕达哥拉斯 Parameshvara 庞加莱 黎曼 Sakabe Sijzi 图西 維布倫 Virasena 杨辉 al-Yasamin 张衡 几何学家列表
按照时期 公元前 Ahmes Baudhayana Manava 毕达哥拉斯 欧几里得 阿基米德 阿波罗尼奥斯 1–1400年代 张衡 Kātyāyana 阿耶波多 Brahmagupta Virasena 海什木 Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi 杨辉 Parameshvara 1400–1700年代 Jyeṣṭhadeva Descartes 帕斯卡 明安图 欧拉 Sakabe 会田安明 1700–1900年代 高斯 罗巴切夫斯基 鲍耶 黎曼 克莱因 庞加莱 希尔伯特 闵可夫斯基 Cartan 維布倫 现代 阿蒂亚 格罗莫夫
几何学主题
查 论 编

微分幾何中，黎曼幾何（英語：Riemannian geometry）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注于角度、弧線長度及體積。把每个微小部分加起來而得出整體的數量。

19世紀，波恩哈德·黎曼把這個概念加以推广。^[1]

任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分拓扑問題。它成為伪黎曼流形複雜結構的入門。其中大部分都是廣義相對論的四維研究对象。

1. 高斯-博内定理：紧致二維黎曼流形上高斯曲率的积分等於${\displaystyle 2\pi \chi (M)}$，這裡的${\displaystyle \chi (M)}$記作M的欧拉示性数。
2. 纳什嵌入定理：（两个）被稱為黎曼幾何的基礎理論。他們表明每個黎曼流形可以是嵌入歐幾里得空間Rⁿ。

所有给出的定理中，都将用空间的局部行为（通常用曲率假设表述）来推出空间的整体结构的一些信息，包括流形的拓扑类型和"足够大"距离的点间的关系。

1. 1/4-受限 球定理：若M是完备n-维黎曼流形，其截面曲率严格限制于1和4之间，则M同胚于n-球。

1. Cheeger's有限定理：给定常数C和D，只有有限个（微分同胚的流形算作一个）紧n-维黎曼流形，其截面曲率${\displaystyle |K|\leq C}$并且直径${\displaystyle \leq D}$。

1. Gromov的几乎平坦流形：存在一个${\displaystyle \epsilon _{n}>0}$使得如果一个n-维黎曼流形其度量的截面曲率${\displaystyle |K|\leq \epsilon _{n}}$且直径${\displaystyle \leq 1}$，则其有限覆盖微分同胚于一个零流形.

1. 灵魂定理：若M是一个不紧的完备正曲率n-维黎曼流形，则它微分同胚于Rⁿ.
2. Gromov的贝蒂数定理：有一个常数C=C(n)使得若M是一个由正截面曲率的紧连通n-维黎曼流形，则它的贝蒂数之和不超过C.

1. Myers定理：若一个紧黎曼流形有正Ricci曲率则它的基本群有限。

1. 分裂定理：若一个完备的n-维黎曼流形有非负Ricci曲率和一条直线（在任何区间上的距离都极小的测地线）则它等度同胚于一条实直线和一个有非负Ricci曲率的完备(n-1)-维黎曼流形的直积。

1. Bishop's不等式：半径为r的球在一个有正Ricci曲率的完备n-维黎曼流形中的体积不超过欧几里得空间中同样半径的球的体积。

1. Gromov's紧致性定理：所有正Ricci曲率且直径不超过D的黎曼流形在Gromov-Hausdorff度量下是仿紧的。

1. n-维环不存在有正数量曲率的度量。

1. 若一个紧n-维黎曼流形的单射半径${\displaystyle \geq \pi }$，则数量曲率的平均值不超过n（n-1）。

1. 任何有非正截面曲率的单连通黎曼流形的两点有唯一的测地线连接。

1. 若M是一个有负截面曲率的完备黎曼流形，则基本群的任何可交换子群同构于整数群Z。

1. 设V^*是一${\displaystyle \mathbb {R} }$-rank${\displaystyle \geq }$2的紧致不可约局部对称空间，设V是一截面曲率${\displaystyle K\leq 0}$的紧致${\displaystyle C^{\infty }}$黎曼流形，若${\displaystyle vol(V)=vol(V^{*})}$，且${\displaystyle \pi _{1}(V)=\pi _{1}(V^{*})}$，则${\displaystyle V}$与${\displaystyle V^{*}}$等距。

1. 任何有负里奇曲率的紧黎曼流形有一个离散的等距同胚群。
2. 任何光滑流形可以加入有负里奇曲率的黎曼度量。

• 度量張量
• 黎曼流形
• 列维-奇维塔联络
• 曲率
• 曲率張量
• 微分幾何主題列表
• 黎曼及度量幾何詞表

• Marcel Berger, Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century, (2000) University Lecture Series vol. 17, American Mathematical Society, Rhode Island, ISBN 0-8218-2052-4. (Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)
• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 (Provides a formal introduction, written at the grad-student level.)
• Peter Peterson, Riemannian Geometry, (1998) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-98212-4. (Provides an introduction, presented at an undergrad level.)