元素 (數學)

建議此條目或章節與属于关系 (集合论)合并。（討論）

此条目序言章节没有充分总结全文内容要点。 (2015年2月14日) 请考虑扩充序言，清晰概述条目所有重點。请在条目的讨论页讨论此问题。

关于范畴论的元素，请见「元素 (范畴论)」。

在数学领域，集合的元素（英語：element）指构成该集合的任意对象，也可以称作成员（英語：member）。

${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$表示集合${\displaystyle A}$中有四个元素，分别是数字1、2、3、4。由集合${\displaystyle A}$中元素组成的集合是${\displaystyle A}$的子集，例如 ${\displaystyle \{1,2\}}$。

集合本身也可以是元素。例如，集合${\displaystyle B=\{1,2,\{3,4\}\}}$的元素不是1、2、3、4四个数，而是数字1、2和集合${\displaystyle \{3,4\}}$这三个元素。

集合的元素还可以是任何东西。例如，集合${\displaystyle C=\{\mathrm {\color {red}red} ,\mathrm {\color {green}green} ,\mathrm {\color {blue}blue} \}}$的元素为red、green和blue。

符号「∈」表示「是${\displaystyle X}$中的元素」的关系，这种关系也称集合隶属关系（英語：set membership）。可以用

${\displaystyle x\in A}$

表示「${\displaystyle x}$是${\displaystyle A}$中的元素」，也可以表达为「${\displaystyle x}$是${\displaystyle A}$的成员」、「${\displaystyle x}$在${\displaystyle A}$中」或「${\displaystyle x}$属于${\displaystyle A}$」。

有时也用「${\displaystyle A}$包含${\displaystyle x}$」表达集合隶属关系，但因为这样的说法也可以用来表达「${\displaystyle x}$是${\displaystyle A}$的子集」，应该谨慎使用，避免歧义。^[1][2]不过使用符号时没有歧义，可以用

${\displaystyle A\ni x}$

来表达「${\displaystyle A}$包含${\displaystyle x}$」。

不隶属的关系可以用符号「${\displaystyle \not \in }$」表示，记作

${\displaystyle x\notin A}$

意思是「${\displaystyle x}$不是${\displaystyle A}$的元素」。

符号∈最早见于朱塞佩·皮亚诺1889年的论文Arithmetices principia, nova methodo exposita。^[3]他在第 X 页^{[註 1]}上写道：

Signum ∈ significat est. Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …

意思是

符号 ∈ 表示“是”。所以a ∈ b被读作 a 是 b； …

该符号源自希腊字母“E”的小写“ϵ”，是单词ἐστί的第一个字母，意思为“是”。^[3]

• 單位元
• 单元素集合

• Halmos, Paul R., Naive Set Theory, 數學大學生教材 Hardcover, NY: Springer-Verlag, 1974 [1960], ISBN 0-387-90092-6  含有內容需登入查看的頁面 (link) - "Naive" means that it is not fully axiomatized, not that it is silly or easy (Halmos's treatment is neither).
• Jech, Thomas, Set Theory, Stanford Encyclopedia of Philosophy, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2002 [2022-06-29], （原始内容存档于2015-03-14） 
• Suppes, Patrick, Axiomatic Set Theory, NY: Dover Publications, Inc., 1972 [1960], ISBN 0-486-61630-4  含有內容需登入查看的頁面 (link) - Both the notion of set (a collection of members), membership or element-hood, the axiom of extension, the axiom of separation, and the union axiom (Suppes calls it the sum axiom) are needed for a more thorough understanding of "set element".