单位群

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在环中，所有可逆元素叫环的单位，所有单位对乘法可构成一个乘法群，叫环的单位群。对环（域）来说，单位群所有元素，和环（域）的所有元素有多少相同，有多少不同，可由环的素理想，分式理想，理想类群来度量。

整数环Z的单位只有1，-1，单位群同构于循环群C₂。模n 的剩余类环Z_n单位群记为U（Z_n）。仅有U（Z₃），U（Z₄），U（Z₆），U（Z₈），U（Z₁₂），U（Z₂₄）非单位元的阶均为2；非单位元的阶均为其他素数p（p > 2）的单位群不存在。

算术基本定理说明Z环的乘法结构为：每一个非零整数可以表为唯一的若干素数次幂和±1乘。这对O_K的理想的唯一分解对一部分理想正确，不能全正确是因为±1，因为整数1和-1是Z环的可逆元素（即单位，两者组成一个乘法群叫单位群，记为Z^×，是个2阶循环群）。更普遍的是，在O_K的形式下全部素元乘法可逆组成一个乘法群，记为O^×，群素元称为O_K的单位，这个群比2阶循环群Z×阶大。由狄利克雷单位定理可得：单位群是交换群。更确切的有伽罗瓦模形式：

O_K ${\displaystyle \simeq }$ Z^⊕r⊕（有限循环群）。

有限循环群即为K的单位群O^×。[1] O_K单元群的阶大小，O_K的格结构，类数公式可以求出。

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由在线GNU项目sagemath.org可容易看出2次域单位的判别式、类数、因子分解等各种情况。

Q7:=QuadraticField(-11);Q7;

O7:=MaximalOrder(Q7);O7;

Discriminant(Q7) ;

ClassGroup(Q7);

a:=O7!5;a;

aa:=O7!500;aa;

Factorization(a);

Factorization(aa);

Q17:=QuadraticField(17);Q17;

FundamentalUnit(Q17);

Discriminant(Q17) ;

ClassGroup(Q17);

Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 + 11 over the Rational Field

Maximal Order of Q7

-11

Abelian Group of order 1

Mapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of O7

5

500

[ <$.2 + 1, 1>, <-$.2 + 2, 1> ]

<-1, 0>

[ <2, 2>, <$.2 + 1, 3>, <-$.2 + 2, 3> ]

<-1, 0>

Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 - 17 over the Rational Field

-Q17.1 + 4

17

Abelian Group of order 1

Mapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of Maximal Order of Q17