卡諾定理 (熱力學)

热力学
经典的卡诺热机 T（熱庫）、Q（熱量）、W（功） H（高溫）、C（低溫）
分支 经典 统计 化学 量子热力学 平衡（英语：Equilibrium thermodynamics） / 非平衡
定律 第零 第一 第二 第三
系统 封閉系統 孤立系統 状态 状态方程 理想氣體 實際氣體 相 / 物质状态 平衡 控制體積 仪器（英语：Thermodynamic instruments） 过程 等压 等体 等温 绝热 等熵 等焓 准静态 多方 自由膨脹 可逆 不可逆 内可逆 循环 热机 热泵 热效率
系统性质 性质图 强度和广延性质 状态函数 （斜体共軛物理量） 温度 / 熵 熵的简介（英语：Introduction to entropy） 压强 / 体积 化学势 / 粒子數 蒸氣量 简化性质 過程函數 功（英语：Work (thermodynamics)） 热
材料性质 比热容  ${\displaystyle c=}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \partial S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \partial T}$ 压缩性  ${\displaystyle \beta =-}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \partial p}$ 热膨胀  ${\displaystyle \alpha =}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \partial T}$ 性质数据库
方程 卡诺定理 克劳修斯定理 基本关系 理想气体定律 麦克斯韦关系 昂萨格倒易关系 布里奇曼热力学方程 热力学方程表
势 自由能 自由熵 内能 ${\displaystyle U(S,V)}$ 焓 ${\displaystyle H(S,p)=U+pV}$ 亥姆霍兹自由能 ${\displaystyle A(T,V)=U-TS}$ 吉布斯能 ${\displaystyle G(T,p)=H-TS}$
历史／文化 哲学 熵与时间 熵与生活 布朗棘轮 麦克斯韦妖 热寂佯谬 洛施密特佯谬 协同学 历史 总史 热 熵 气体定律 永动机 理论 热质说 活力 热动说 热功当量 动力 关键著作 《论摩擦激起的热源》 《关于多相物质平衡》 《论火的动力（英语：Reflections on the Motive Power of Fire）》 年表 热力学 热机
科学家 昂萨格 伯努利 迪昂 亥姆霍兹 吉布斯 焦耳 卡拉西奥多里 卡诺 克拉佩龙 克劳修斯 兰金 冯·迈尔 麦克斯韦 斯米顿 斯塔尔 开尔文男爵汤姆森 伦福德伯爵汤普森 沃特斯顿
查 论 编

卡諾定理是熱力學中的一個定理，說明熱機的最大熱效率只和其高溫熱源和低溫熱源的溫度有關。此定理以尼古拉·卡諾為名。

根據卡諾定理，則

• 所有不可逆的熱機，其熱效率會比使用相同高溫和低溫熱源的卡諾熱機要低。
• 所有可逆的熱機，其熱效率會等於相同高溫和低溫熱源的卡諾熱機。

依卡諾定理可得到一熱機的最大熱效率${\displaystyle \eta }$（也稱作卡諾效率）為

${\displaystyle \eta _{\text{max}}=\eta _{\text{Carnot}}=1-{\frac {T_{C}}{T_{H}}}}$

其中

• T_C為低溫熱源的絕對溫度
• T_H為高溫熱源的絕對溫度

上式的熱效率是指熱機產生的功和高溫熱源提供能量的比值。

上述定律其實是熱力學第二定律的結果。不過當初在推導此定律時是以熱質說為基礎，且以此定律為基礎建立熱力學第二定律。^[1]

此定理可用以下的方式，針對不可逆熱機及可逆熱機的情形進行證明^[2]

假設一不可逆熱機，其熱源為${\displaystyle T_{1}}$及${\displaystyle T_{2}}$，其熱效率為${\displaystyle \eta }$，此熱機和一個效率為${\displaystyle \eta \prime }$的逆卡諾熱機，依右圖的方式組合成一個熱力學循環，不可逆熱機產生的功為逆卡諾熱機的工作來源。

若${\displaystyle \eta =\eta \prime }$，則此熱力學循環對系統沒有任何影響，與不可逆性矛盾，因此不成立。

若${\displaystyle \eta >\eta \prime }$，則此熱力學循環可由低溫熱源${\displaystyle T_{2}}$取出

${\displaystyle \Delta Q=\eta Q\left({\frac {1}{\eta \prime }}-1\right)-(1-\eta )Q=Q\left({\frac {\eta }{\eta \prime }}-1\right)>0}$

的能量，將此能量釋放到高溫熱源${\displaystyle T_{1}}$，且不引起其他變化，違反熱力學第二定律，也無法成立。

因此結論為${\displaystyle \eta <\eta \prime }$，不可逆熱機的效率${\displaystyle \eta }$較卡諾熱機的效率${\displaystyle \eta \prime }$低。

對於可逆熱機的例子，可依類似的方式得到${\displaystyle \eta \leqslant \eta \prime }$的結果。

若用待測的可逆熱機當成逆熱機，和一般的卡諾熱機形成一個熱力學循環，也可得到${\displaystyle \eta \prime \leqslant \eta }$的結果。

由於上述二式需同時成立，可得以下的式子

${\displaystyle \eta =\eta \prime }$

有關卡諾定理是否能應用在燃料電池，至今科學家還沒有達成共識。凱斯西儲大學的教授認為「由於燃料電池中的電化學反應不涉及將熱能轉換為機械能，因此不受卡諾定理的限制」^[3]。不過K. T. Jacob及Saurabh Jain則認為「傳統的觀點認為燃料電池不受卡諾定理的限制，不過最近幾篇論文都認為熱力學第二定律不但限制熱機的效率，也以同樣方式限制燃料電池的效率」^[4]。