反向欧拉法

数值分析与科学计算中，反向欧拉法或隐式欧拉法是求解常微分方程最基本的数值方法之一。其类似于（标准）欧拉法，不过是一种隱式方法。反向欧拉法的时间误差为一阶。

考虑常微分方程

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)}$

有初值${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}.}$此处函数${\displaystyle f}$与初值数据${\displaystyle t_{0}}$、${\displaystyle y_{0}}$均未知；函数${\displaystyle y}$取决于实变量${\displaystyle t}$，同样未知。数值方法产生一个序列${\displaystyle y_{0},y_{1},y_{2},\ldots }$，使${\displaystyle y_{k}}$近似于${\displaystyle y(t_{0}+kh)}$，其中${\displaystyle h}$称为步长。

反向欧拉法计算近似值的方法是

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}).}$ ^[1]:57

异于（正向）欧拉法，后者用的是${\displaystyle f(t_{k},y_{k})}$而非${\displaystyle f(t_{k+1},y_{k+1})}$。

反向欧拉法是一种隐式方法：新近似值${\displaystyle y_{k+1}}$在方程两侧都出现，因此该方法要求解未知${\displaystyle y_{k+1}}$的代数方程。对非刚性问题，这可采用定点迭代法：

${\displaystyle y_{k+1}^{[0]}=y_{k},\quad y_{k+1}^{[i+1]}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}^{[i]}).}$

若序列收敛（在给定精度内），则该方法会将其极限作为新的近似 ${\displaystyle y_{k+1}}$。^[1]:57

或者，也可以使用牛顿–拉斐森法求解代数方程。

将微分方程${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=f(t,y)}$自${\displaystyle t_{n}}$积分到${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h}$，有

${\displaystyle y(t_{n+1})-y(t_{n})=\int _{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,\mathrm {d} t.}$

现在用右手矩形法近似计算右式的积分：

${\displaystyle y(t_{n+1})-y(t_{n})\approx hf(t_{n+1},y(t_{n+1})).}$

最后，用${\displaystyle y_{n}}$应近似于${\displaystyle y(t_{n})}$的性质，就得到了反向欧拉法公式。^[1]:57

若用左手矩形法，同样的推导会得到（标准）欧拉法。

用大O符号表示反向欧拉法的局部截断误差（LTE）（定义为迭代一步产生的误差）为${\displaystyle O(h^{2})}$。特定时刻${\displaystyle t}$的误差为${\displaystyle O(h^{2})}$，这是说该方法的阶数为1。一般来说，具有${\displaystyle O(h^{k+1})}$LTE的方法定义为k阶。

反向欧拉法的绝对稳域是以1为圆心，半径为1的圆盘在平面内的补集，如图所示。^[1]:70这包括整个复平面的左半部，使其适于求解刚性方程。^[1]:71事实上，反向欧拉法甚至是L-稳定的。

利用反向欧拉法求解离散稳定系统的区域是半径为0.5的圆，位于z平面的(0.5, 0)处。^[2]

反向欧拉法是（前向）欧拉法的一种变体。其他变体还有半隐式欧拉法和指数欧拉法。

反向欧拉法可视为1阶段的龙格-库塔法，可用Butcher表描述：

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}}$

该方法也可看作是1步的线性多步法，是Adams–Moulton法族中的第一个方法，也是后向微分法的第一个方法。

• 克兰克-尼科尔森方法

• Butcher, John C., Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley & Sons, 2003, ISBN 978-0-471-96758-3 .