在幾何學 中，小斜方截半二十面體 是一種半正多面體 ，由於其具有點可遞的性質，因此屬於阿基米德立體 [ 1] 正三角形 面、30個正方形 面、12個正五邊形 面、60個頂點和120條棱構成[ 2] 對偶多面體 為鳶形六十面體 [ 3]
约翰内斯·开普勒 在他1618年出版的《世界的和諧 》中，將這個多面體命名為小斜方截半二十面體 （rhombicosidodecahedron），可以看做是截角截半二十面體菱形 （truncated icosidodecahedral rhombus）的縮寫，由於小斜方截半二十面體可以看做是菱形三十面體 透過截角變換 後的像而得名，其中截半二十面體菱形（icosidodecahedral rhombus）是开普勒給予菱形三十面體 的命名[ 4] 菱形三十面體 透過截角變換 後的像在拓樸學上可以產生兩種不同的幾何形狀：左邊為最直接的截半 ；中間是在五階頂點截的較深的截半，其形成了均勻多面體 ；右邊的是小斜方截半二十面體與菱形三十面體 的對偶多面體 ——截半二十面体 的複合體。
正十二面體 透過擴展變換形成小斜方截半二十面體的動畫。小斜方截半二十面體是一種半正多面體 ，由三種正多邊形組成，分別為正三角形面、正方形面和正五邊形，每個頂點都是兩個正方形、一個正三角形和一個五邊形的公共頂點，在頂點圖 中可計為3.4.5.4，因此具有點可遞的性質。由於其可以藉由正十二面體透過擴展 正十二面體 ，亦可以簡寫為
r
{
5
3
}
{\displaystyle r{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}
[ 5]
将一个正十二面体 （正二十面体 ）三十条棱都切一刀，在二十（十二）个顶点处也切一刀，就可以得到一个小斜方截半二十面体。也可以透過將正二十面体移動到遠離原點適當的距離，並且不改變面的大小，然後對偶多面體（正十二面体 ）也做相同動作，並且在剩餘的空隙補上正方形也可以得到小斜方截半二十面体。一可以視為截半二十面體 再次截半後的像[ 6] 正二十面體 或正十二面體邊的數量。
小斜方截半二十面體與小星形截角十二面體 、六複合五角星柱 十二複合五角星柱
小斜方截半二十面體由上而下可以分成5層，如下圖所示，靠近頂面的那層可形成一個正十邊形 ，特別地，由於其對稱性，因此每十條棱皆可以成為一個正十邊形，整個小斜方截半二十面體共有十二個獨立的十邊形。
位於笛卡爾坐標系 原點且邊長為2單位長的小斜方截半二十面體，其頂點坐標 為[ 7]
(±1, ±1, ±φ 3 ),
(±φ 2 , ±φ , ±2φ ),
(±(2+φ ), 0, ±φ 2 ), 其中，φ =
1
+
5
2
{\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
黄金分割率 。
因此，這個小斜方截半二十面體的外接球半徑是這些點與原點的共同距離，即
ϕ
6
+
2
{\displaystyle {\sqrt {\phi ^{6}+2}}}
而這個值的一半更為常見，計做R ，其值等於邊長為1的小斜方截半二十面體之外接球半徑，代入恆等式φ n +2φ n +1φ n
R =
8
ϕ
+
7
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {8\phi +7}}{2}}}
11
+
4
5
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {11+4{\sqrt {5}}}}{2}}}
一個邊長為a 的小斜方截半二十面體，其表面積 A 和體積 V 為：
A
=
{
30
+
30
[
10
+
3
5
+
15
(
5
+
2
5
)
]
}
a
2
≈
59.3059828
a
2
V
=
1
3
(
60
+
29
5
)
a
3
≈
41.6153238
a
3
{\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left\{30+{\sqrt {30\left[10+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {15(5+2{\sqrt {5}})}}\right]}}\right\}a^{2}\\&\approx 59.3059828a^{2}\\V&={\frac {1}{3}}(60+29{\sqrt {5}})a^{3}\approx 41.6153238a^{3}\\\end{aligned}}}
[ 8]
小斜方截半二十面體有兩種二面角，一個為正五邊形和正方形的交角，另一個為正三角形與正方形的交角[ 8]
其中，正五邊形和正方形的交角為：
arccos
(
−
10
(
5
+
5
)
10
)
≈
148.282525589
∘
{\displaystyle \arccos {\left(-{\frac {\sqrt {10\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}{10}}\right)}\approx 148.282525589^{\circ }}
[ 8] 其中，正三角形與正方形的交角為:
arccos
(
−
3
+
15
6
)
≈
159.094842552
∘
{\displaystyle \arccos {\left(-{\frac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{6}}\right)}\approx 159.094842552^{\circ }}
[ 8]
小斜方截半二十面體有6個特殊的正交投影，分別為於中心投影、於頂點上投影、於稜上投影（兩種）和於面上投影（三種），其中「在正方形面上投影」以及「在正五邊形面上投影」其對稱性對應於A2 和 H2 的考克斯特平面[ 9]
正交投影
投影位置
頂點
三角形-正方形
五邊形-正方形
正方形面
三角形面
五邊形面
立體圖
骨架
投影
[2]
[2]
[2]
[2]
[6]
[10]
對偶骨架
小斜方截半二十面體也可以表示為球面鑲嵌，並通過球極投影 ，投影到平面上。 這個投影是一個等角頭影，雖然長度發生改變，但保留了角度資訊。 球面鑲嵌上的直線投影到了平面後成為了弧線。
小斜方截半二十面體可以經由正十二面體 或正二十面體 透過擴展 Zometool 積木組 [ 10] 小斜方截半二十面體是正十二面體 經過擴展 康威變換 得到的多面體有：
正二十面体家族半正多面体
對稱群 : [5,3] [5,3]+ , (532)
{5,3}
t0,1 {5,3}
t1 {5,3}
t0,1 {3,5}
{3,5}
t0,2 {5,3}
t0,1,2 {5,3}
s{5,3}
半正多面体对偶
V5.5.5
V3.10.10
V3.5.3.5
V5.6.6
V3.3.3.3.3
V3.4.5.4
V4.6.10
V3.3.3.3.5
這個多面體在拓撲上與一系列頂點圖為(3.4.n.4)的多面體和鑲嵌相關，皆具有(*n32)的鏡射對稱性。
詹森多面體中，有13個與小斜方截半二十面體相關，其中包括5個小斜方截半二十面體的分割，以及8個與小斜方截半二十面體類似但部分結構被旋轉的結果：
Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X Cromwell, P. Polyhedra . United Kingdom: Cambridge. 1997: 79 –86 Archimedean solids . ISBN 0-521-55432-2 The Big Bang Theory Series 8 Episode 2 - The Junior Professor SolutionChuck Lorre 's Vanity Card #461 at the end of that episode.
^ Cromwell, P. Polyhedra , CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
^ Rhombicosidodecahedron . bulatov.com. [2018-08-27 ] . （原始内容存档 于2017-10-11）. ^ Weisstein, Eric W. (编). DeltoidalHexecontahedron and Hamiltonian path . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Harmonies Of The World by Johannes Kepler, Translated into English with an introduction and notes by E. J. Aiton , A. M. Duncan , "J. V. Field, 1997, ISBN 0-87169-209-0 (page 123) ^ Weisstein, Eric W. (编). Small Rhombicosidodecahedron . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ The Rhombicosidodecahedron . The Geometry Center. [2018-08-27 ] . （原始内容存档 于2016-12-04）. ^ Weisstein, Eric W. (编). Icosahedral group . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 Archimedean Solids: Rhombicosidodecahedron . dmccooey.com. [2018-08-27 ] . （原始内容存档 于2018-01-29）. ^ Coxeter Planes （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ） and More Coxeter Planes （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ） 約翰·史坦布里奇 ^ Weisstein, Eric W. (编). Zome . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） .
星號*表示該立體屬於
阿基米德立體 。
黃色和紅色為來自原像的面；藍色為截邊出現的正方形面；灰色為扭稜出現的三角形面。
![{\displaystyle {\begin{aligned}A&=\left\{30+{\sqrt {30\left[10+3{\sqrt {5}}+{\sqrt {15(5+2{\sqrt {5}})}}\right]}}\right\}a^{2}\\&\approx 59.3059828a^{2}\\V&={\frac {1}{3}}(60+29{\sqrt {5}})a^{3}\approx 41.6153238a^{3}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd68c578db121e5a01c160e112b2bd44cd5b0df2)
