扭棱十二面體 （单击查看旋转模型） 類別 阿基米德立體 、半正多面體 對偶多面體 五角六十面體 名稱 扭棱十二面體 參考索引 U 29 , C 32 , W 18 鮑爾斯縮寫 snid 考克斯特符號 施萊夫利符號 sr{5,3} 或
s
{
5
3
}
{\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}
|-
!style="background-color:#e7dcc3"|
|| ht0,1,2 {5,3} 威佐夫符號 | 2 3 5 康威表示法 sD 面 92 邊 150 頂點 60 歐拉特徵數 F=92, E=150, V=60 （χ=2） 二面角 3-3: 164°10′31″ (164.18°) 面的種類 正三角形 面的佈局 (20+60){3}+12{5} [ 1] 頂點圖 3.3.3.3.5 對稱群 I , 1 / 2 3 , [5,3]+ , (532), order 60旋轉對稱群 I , [5,3]+ , (532), order 60半正、凸 、手性
在幾何學 中，扭棱十二面体 是一種半正多面體 ，由正三角形 和正五邊形 組成[ 2] 阿基米德立體 [ 3] 阿基米德立體 [ 4] 對偶多面體 為五角六十面體 [ 5] [ 6] [ 7]
這個形狀最早是由克普勒 以拉丁文命名的，當時克普勒給出的名稱為dodecahedron simum [ 8] [ 9] 世界的和諧 》。考克斯特利用扭棱十二面體不僅可以由正十二面體扭棱而成，同時也可以用正二十面體扭棱而成，因此稱其為扭棱十二・二十面體 （snub icosidodecahedron ）或扭棱截十二面體 [ 10] [ 11] [ 5]
扭棱十二面體是一種阿基米德立體 ，為正十二面體 （或正二十面體 ）透過扭稜變換後的結果，在施萊夫利符號 中可以用
s
{
5
3
}
{\displaystyle s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}
[ 12] 手性 幾何結構，兩者互為鏡像[ 13] 二複合扭棱十二面體 大斜方截半二十面体 [ 14]
扭棱十二面體的展開 動畫。 扭棱十二面體由92個面[ 15] [ 16] [ 17] [ 18] 頂點圖 中可以用5.3.3.3.3來表示[ 19]
若扭棱十二面體邊長為1，則其表面積 為：
A
=
20
3
+
3
25
+
10
5
≈
55.286
744
958
445
15
{\displaystyle A=20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 55.286\,744\,958\,445\,15}
體積為：
V
=
12
ξ
2
(
3
φ
+
1
)
−
ξ
(
36
φ
+
7
)
−
(
53
φ
+
6
)
6
3
−
ξ
2
3
≈
37.616
649
962
733
36
{\displaystyle V={\frac {12\xi ^{2}(3\varphi +1)-\xi (36\varphi +7)-(53\varphi +6)}{6{\sqrt {3-\xi ^{2}}}^{3}}}\approx 37.616\,649\,962\,733\,36}
其中
φ
=
1
+
5
2
{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
黄金分割率 ，而
ξ
{\displaystyle \xi }
x
3
+
2
x
2
−
φ
2
=
0
{\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{2}=0}
ξ
=
φ
+
φ
−
5
27
2
3
+
φ
−
φ
−
5
27
2
3
{\displaystyle \xi ={\sqrt[{3}]{\frac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}{2}}}}
ξ
≈
0.94315125924
{\displaystyle \xi \approx 0.94315125924}
扭棱十二面體有2種二面角 ，一種是正三角形與正三角形交角，另一種是正三角形與正五邊形交角。其中正三角形與正三角形交角角度約為164.175度[ 11] [ 16]
arccos
(
−
2
ξ
2
−
3
3
)
≈
2.865400688
≈
164.175366
∘
{\displaystyle \arccos \left(-{\frac {2\xi ^{2}-3}{3}}\right)\approx 2.865400688\approx 164.175366^{\circ }}
而正三角形與正五邊形交角的角度約為152.9299度[ 11] [ 16]
arccos
(
−
15
(
4
(
1
ξ
−
ξ
)
(
3
φ
+
1
)
+
(
12
φ
+
19
)
)
15
)
≈
2.66913
≈
152.9299
∘
{\displaystyle \arccos \left({\frac {-{\sqrt {15\left(4\left({\frac {1}{\xi }}-\xi \right)\left(3\varphi +1\right)+\left(12\varphi +19\right)\right)}}}{15}}\right)\approx 2.66913\approx 152.9299^{\circ }}
其中
φ
{\displaystyle \varphi }
ξ
{\displaystyle \xi }
座標值
其中，
x
{\displaystyle x}
φ
{\displaystyle \varphi }
#二面角 章節
C
0
=
φ
3
−
x
2
2
{\displaystyle C_{0}={\frac {\varphi {\sqrt {3-x^{2}}}}{2}}}
C
1
=
x
φ
3
−
x
2
2
{\displaystyle C_{1}={\frac {x\varphi {\sqrt {3-x^{2}}}}{2}}}
C
2
=
φ
(
x
−
1
−
1
x
)
φ
2
{\displaystyle C_{2}={\frac {\varphi {\sqrt {\left(x-1-{\frac {1}{x}}\right)\varphi }}}{2}}}
C
3
=
x
2
φ
3
−
x
2
2
{\displaystyle C_{3}={\frac {x^{2}\varphi {\sqrt {3-x^{2}}}}{2}}}
C
4
=
x
φ
(
x
−
1
−
1
x
)
φ
2
{\displaystyle C_{4}={\frac {x\varphi {\sqrt {\left(x-1-{\frac {1}{x}}\right)\varphi }}}{2}}}
C
5
=
φ
1
−
x
+
φ
+
1
x
2
{\displaystyle C_{5}={\frac {\varphi {\sqrt {1-x+{\frac {\varphi +1}{x}}}}}{2}}}
C
6
=
φ
x
−
φ
+
1
2
{\displaystyle C_{6}={\frac {\varphi {\sqrt {x-\varphi +1}}}{2}}}
C
7
=
x
2
φ
(
x
−
1
−
1
x
)
φ
2
{\displaystyle C_{7}={\frac {x^{2}\varphi {\sqrt {\left(x-1-{\frac {1}{x}}\right)\varphi }}}{2}}}
C
8
=
x
φ
1
−
x
+
φ
+
1
x
2
{\displaystyle C_{8}={\frac {x\varphi {\sqrt {1-x+{\frac {\varphi +1}{x}}}}}{2}}}
C
9
=
(
x
+
2
)
φ
+
2
2
{\displaystyle C_{9}={\frac {\sqrt {\left(x+2\right)\varphi +2}}{2}}}
C
10
=
x
x
(
φ
+
1
)
−
φ
2
{\displaystyle C_{10}={\frac {x{\sqrt {x\left(\varphi +1\right)-\varphi }}}{2}}}
C
11
=
x
2
(
2
φ
+
1
)
−
φ
2
{\displaystyle C_{11}={\frac {\sqrt {x^{2}\left(2\varphi +1\right)-\varphi }}{2}}}
C
12
=
φ
x
2
+
x
2
{\displaystyle C_{12}={\frac {\varphi {\sqrt {x^{2}+x}}}{2}}}
C
13
=
φ
2
x
(
x
+
φ
)
+
1
2
x
{\displaystyle C_{13}={\frac {\varphi ^{2}{\sqrt {x\left(x+\varphi \right)+1}}}{2x}}}
C
14
=
φ
x
(
x
+
φ
)
+
1
2
{\displaystyle C_{14}={\frac {\varphi {\sqrt {x\left(x+\varphi \right)+1}}}{2}}}
若一扭棱十二面體邊長為一，且質心位於原點，則其頂點座標為下列式子的偶置換 ：
(
c
2
,
c
1
,
c
14
)
,
(
c
0
,
c
8
,
c
12
)
,
(
c
7
,
c
6
,
c
11
)
{\displaystyle \left(c_{2},c_{1},c_{14}\right),\left(c_{0},c_{8},c_{12}\right),\left(c_{7},c_{6},c_{11}\right)}
(
c
3
,
c
4
,
c
13
)
,
(
c
9
,
c
5
,
c
10
)
{\displaystyle \left(c_{3},c_{4},c_{13}\right),\left(c_{9},c_{5},c_{10}\right)}
[ 20] [ 21]
扭棱十二面體有3個特殊的正交投影[ 2] 2 和 H2 的考克斯特平面[ 22]
正交投影
投影於
正三角形面
正五邊形面
稜
立體圖
骨架圖
投影對稱性
[3]
[5]+
[2]
對偶投影
扭棱十二面體可以透過將正十二面體的正五邊形 面往外拉，直到完全不接觸後，原本的頂點位置填入三角形，剩下的部分用三角形補滿來構造。而將正十二面體往外拉時，在某個適當的位置時，原本正五邊形與正五邊形的公共稜的位置則可以擺上正方形，此時則會構成小斜方截半二十面体[ 23]
而要產生扭棱的形式則需要在將正五邊形面往外拉時稍微有一點旋轉，並只用三角形填滿空隙，而五邊形旋轉的方向不同可以產生手性鏡像[ 24]
扭棱十二面體也可以經由大斜方截半二十面体透過交錯變換來構造，但構造出的扭棱十二面体並非所有面都是正多邊形，其結果稱為截角大斜方截半二十面體，其與扭棱十二面體有著相同的拓樸結構。
扭棱十二面體 是正十二面體 （或正二十面體）經過扭棱變換後的結果，其他也是由正二十面體透過康威變換 得到的多面體有：
正二十面体家族半正多面体
對稱群 : [5,3] [5,3]+ , (532)
{5,3}
t0,1 {5,3}
t1 {5,3}
t0,1 {3,5}
{3,5}
t0,2 {5,3}
t0,1,2 {5,3}
s{5,3}
半正多面体对偶
V5.5.5
V3.10.10
V3.5.3.5
V5.6.6
V3.3.3.3.3
V3.4.5.4
V4.6.10
V3.3.3.3.5
扭棱十二面體的頂點為4個正三角形與1個正五邊形的公共頂點，頂點圖計為3.3.3.3.5，在考克斯特符號中可以用半正平面鑲嵌 [ 25] [ 26] 三角形二面體 ，而n為1或更低時，則該形狀不存在。
扭稜立體
原像
正四面體
立方體
正八面體
正十二面體
正二十面體
扭稜
扭棱四面體
扭棱立方体 扭棱八面體 扭棱十二面体 扭棱二十面体
完全扭稜
二複合二十面體 完全扭稜二十面體
在圖論的數學領域中，與扭棱十二面體相關的圖為扭棱十二面體圖 ，是扭棱十二面體之邊與頂點的圖 阿基米德圖 [ 27] 哈密顿图 。
Jayatilake, Udaya. Calculations on face and vertex regular polyhedra . Mathematical Gazette. March 2005, 89 (514): 76–81. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X Cromwell, P. Polyhedra . United Kingdom: Cambridge. 1997: 79 –86 Archimedean solids . ISBN 0-521-55432-2
^ 中華民國第54屆中小學科學展覽會 第三名 滾動奇跡 (PDF) . 高雄市立五福國民中學. [2018-09-18 ] . （原始内容存档 (PDF) 于2018-09-17）. ^ 2.0 2.1 The Snub Dodecahedron . eusebeia.dyndns.org. 2018-02-06 [2018-09-16 ] . （原始内容存档 于2018-09-16）. ^ Cromwell, P. Polyhedra , CUP hbk (1997), pbk. (1999). Ch.2 p.79-86 Archimedean solids
^ ミラーボール2をつくる . d.hatena.ne.jp. [2018-10-17 ] . （原始内容存档 于2018-10-17）. 面の数は多そうだが（正五角形と正三角形の合計92） ^ 5.0 5.1 Weisstein, Eric W. (编). Snub dodecahedron . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ Weisstein, Eric W. (编). Pentagonal hexecontahedron . at MathWorld Wolfram Research, Inc. （英语） . ^ いくろ こたろ ねじれ立方体，ねじれ１２面体の双対多面体 [2018-09-17 ] . （原始内容存档 于2018-10-08） （日语） . ^ Johannes Kepler . Harmonices Mundi. Tampachius, Linz. 1969. ^ Weissbach, B. and Martini, H. "On the Chiral Archimedean Solids." Contrib. Algebra and Geometry 43, 121-133, 2002.
^ 何永安. 阿基米德多面體的視覺化 (PDF) . 中華大學 應用數學學系(所). [2018-09-18 ] . （原始内容存档 (PDF) 于2021-08-30）. ^ 11.0 11.1 11.2 Archimedean Solids: Snub Dodecahedron (laevo) . dmccooey.com. [2018-10-17 ] . （原始内容存档 于2018-04-01）. ^ Wenninger, M.J. Spherical Models . Dover Publications. 2014: p.53 [2018-09-16 ] . ISBN 9780486143651存档 于2018-09-16）. ^ Snub Dodecahedron Calculator . rechneronline.de. [2018-09-16 ] . （原始内容存档 于2018-09-16）. ^ Skilling, John, Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1976, 79 : 447–457, MR 0397554 doi:10.1017/S0305004100052440 ^ 捩れ十二面体 [3,3,3,3,5] Snub Dodecahedron . biglobe.ne.jp. [2018-09-18 ] . （原始内容存档 于2015-10-10）. ^ 16.0 16.1 16.2 Archimedean Solids: Snub Dodecahedron (dextro) . dmccooey.com. [2018-10-17 ] . （原始内容存档 于2018-03-12）. ^ Gijs Korthals Altes. Paper Snub Dodecahedron . korthalsaltes.com. [2018-09-16 ] . （原始内容存档 于2018-09-16）. ^ 多面体の模型 . ds.cc.yamaguchi-u.ac.jp. [2018-09-16 ] . （原始内容存档 于2018-03-19）. ^ Robert Webb. Snub Dodecahedron . software3d.com. [2018-09-16 ] . （原始内容存档 于2018-09-16）. ^ Data of Snub Dodecahedron (dextro) . dmccooey.com. [2018-10-17 ] . （原始内容存档 于2017-10-31）. ^ Data of Snub Dodecahedron (laevo) . dmccooey.com. [2018-10-17 ] . （原始内容存档 于2016-07-30）. ^ Coxeter Planes （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ） and More Coxeter Planes （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ） 約翰·史坦布里奇 ^ Lambert M. Surhone, Miriam T. Timpledon, Susan F. Marseken. Snub Dodecahedron ISBN 978-613-1-19412-2 ^ Popko, E.S. Divided Spheres: Geodesics and the Orderly Subdivision of the Sphere . CRC Press. 2012: 183 [2018-10-17 ] . ISBN 9781466504301LCCN 2011048704 存档 于2018-10-17）. ^ Laughlin, D.E. and Hono, K. Physical Metallurgy . Elsevier Science. 2014: 17 [2018-10-17 ] . ISBN 9780444537713存档 于2018-10-17）. ^ Klitzing, Richard. s3s7s, hyperbolic snub triheptagonal tiling . bendwavy.org. [2018-10-17 ] . （原始内容存档 于2016-03-25）. ^ Read, R. C.; Wilson, R. J., An Atlas of Graphs, Oxford University Press : 269, 1998
星號*表示該立體屬於
阿基米德立體 。
黃色和紅色為來自原像的面；藍色為截邊出現的正方形面；灰色為扭稜出現的三角形面。
![{\displaystyle \xi ={\sqrt[{3}]{\frac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf9a9601421f1c5ac9678769b36f75c2f34ae6d)
