希钦系统

数学中，希钦可积系统是奈杰尔·希钦 (1987)提出的一类可积系统，取决于复约化群与紧黎曼曲面的选择。希钦系统是代数几何、李群理论和可积系统理论的交叉，通过共形场论，还在复数域上的几何朗兰兹对应中发挥重要作用。

希钦系统的0亏格类似物是卡尼尔可积系统，是勒内·卡尼尔发现的Schlesinger方程的某个极限，通过定义谱曲线解决了他的系统（卡尼尔系统是高丹模型的经典极限。Schlesinger方程是克尼日尼克–扎莫洛奇科夫方程的经典极限）。

几乎所有经典力学的可积系统都可作为希钦系统或Bottacin & Markman (1994)的通用推广的特例。

用代数几何的语言来说，系统的相空间是某紧代数曲线上，余切丛到某约化群G的稳定G丛的模空间的部分紧化。这个空间被赋予了规范辛形式。简单起见，假设${\displaystyle G=\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$是一般线性群，则哈密顿量可以描述如下：G丛的模空间在丛F处的切空间是

${\displaystyle H^{1}(\operatorname {End} (F)),}$

根据塞雷对偶性，对偶于

${\displaystyle \Phi \in H^{0}(\operatorname {End} (F)\otimes K),}$

其中K是规范丛，于是

${\displaystyle (F,\Phi )}$

称作希钦对或希格斯丛，定义了余切丛中的点。取

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\Phi ^{k}),\qquad k=1,\ldots ,\operatorname {rank} (G)}$

就可得

${\displaystyle H^{0}(K^{\otimes k})}$

中的元素，这是个不依赖于${\displaystyle (F,\Phi )}$的向量空间。因此，在这些向量空间中任取基，就能得到函数${\displaystyle H_{i}}$，这就是希钦哈密顿量。一般约化群的构造与此类似，用的是G的李代数上的不变多项式。

由于平凡的原因，这些函数在代数上是独立的，一些计算表明它们的数量恰是相空间维数的一半。非平凡部分是证明函数的泊松交换性。因此，它们定义了辛或刘维尔–阿诺德定理意义上的可积系统。

希钦纤维化是从希钦对的模空间到特征多项式的映射，是卡尼尔用于定义谱曲线的映射的高亏格类似物。Ngô （2006, 2010）在证明朗兰兹纲领基本引理时使用了有限域上的希钦纤维化。

• 杨–米尔斯方程
• 希格斯丛
• 非阿贝尔霍奇对应
• 示性簇
• 希钦方程

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• Garnier, René, Sur une classe de systemes différentiels abéliens déduits de la théorie des équations linéaires, Rend. Circ. Mat. Palermo, 1919, 43: 155–191 [2024-06-15], S2CID 120557738, doi:10.1007/BF03014668, （原始内容存档于2022-10-28） 
• Hitchin, Nigel, Stable bundles and integrable systems, Duke Mathematical Journal, 1987, 54 (1): 91–114, doi:10.1215/S0012-7094-87-05408-1 
• Ngô, Bao Châu, Fibration de Hitchin et structure endoscopique de la formule des traces (PDF), International Congress of Mathematicians. Vol. II, Eur. Math. Soc., Zürich: 1213–1225, 2006, MR 2275642 
• Ngô, Bao Châu, Fibration de Hitchin et endoscopie, Inventiones Mathematicae, 2010, 164 (2): 399–453, Bibcode:2006InMat.164..399N, ISSN 0020-9910, MR 2218781, S2CID 52064585, arXiv:math/0406599 , doi:10.1007/s00222-005-0483-7